Chapitre 5 Seconde — Vecteurs 2 — Coordonnées et calcul vectoriel
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- Coordonnées d'un point dans un repère ; coordonnées d'un vecteur.
- Calculer les coordonnées du milieu d'un segment.
- Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé.
- Additionner des vecteurs et multiplier un vecteur par un réel par le calcul.
- Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant.
- Utiliser les vecteurs pour démontrer des propriétés géométriques (parallélogramme, alignement).
1. Introduction
Ce chapitre introduit les coordonnées et le calcul vectoriel dans un repère. Ces outils permettent de traiter algébriquement des problèmes de géométrie : démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, qu'un triangle est rectangle, ou que trois points sont alignés.
2. Cours
A — Coordonnées d'un vecteur
Définition — Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)
Soient \(A(x_A ; y_A)\) et \(B(x_B ; y_B)\). Alors : \(\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).
B — Milieu et distance
Propriété — Coordonnées du milieu
Le milieu \(I\) du segment \([AB]\) a pour coordonnées : \(I\!\left(\frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}\right)\).
Propriété — Distance dans un repère orthonormé
\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
C — Opérations sur les vecteurs
Propriété — Somme et produit
Si \(\vec{u} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\), alors \(\vec{u}+\vec{v} \begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix}\) et \(k\vec{u} \begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}\).
D — Colinéarité
Propriété — Déterminant et colinéarité
Deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\) sont colinéaires si et seulement si \(xy' - yx' = 0\).
Méthode — Démontrer que \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés
Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis vérifier que leur déterminant est nul.
3. Exercices progressifs
Exercice 1 — Coordonnées de vecteurs
Soient \(A(1;3)\), \(B(5;7)\), \(C(-2;4)\) et \(D(3;-1)\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Exercice 2 — Parallélogramme
Soient \(A(1;2)\), \(B(5;3)\), \(C(7;6)\) et \(D(3;5)\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) puis conclure sur la nature de \(ABCD\).
Exercice 3 — Triangle rectangle
Dans un repère orthonormé, soient \(A(0;0)\), \(B(6;0)\) et \(C(0;8)\). Calculer \(AB\), \(AC\) et \(BC\), puis démontrer que le triangle est rectangle.
4. Fiche de synthèse
À retenir — Coordonnées du vecteur
\(\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A\end{pmatrix}\).
À retenir — Milieu
\(I\left(\frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}\right)\).
À retenir — Distance
\(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\).
À retenir — Colinéarité
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\Leftrightarrow xy' - yx' = 0\).