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Chapitre 16 — Annales

Correction Bac 2026 — Amérique du Nord Jour 2

Probabilités · Suites récurrentes · Géométrie · Calcul intégral — Bac 2026 AN J2

📋 Sommaire

  1. Exercice 1 — Probabilités (4 pts)
  2. Exercice 2 — Suites récurrentes (6 pts)
  3. Exercice 3 — Géométrie dans l'espace (5 pts)
  4. Exercice 4 — Fonction \(x(\ln x)^2\) (5 pts)

Exercice 1 — Probabilités 4 points

Chapitres en lien : Loi binomiale · Loi des grands nombres
Contexte : Tomates de deux fournisseurs A et B. 91 % du stock est commercialisable, 60 % vient de A, et parmi les tomates de A, 95 % sont commercialisables.

Partie A

1. Compléter l'arbre de probabilités.

\(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}4\), \(P_A(C)=0{,}95\), \(P_A(\bar C)=0{,}05\), \(P_B(C)=0{,}85\), \(P_B(\bar C)=0{,}15\).

2a. Probabilité que la tomate soit commercialisable et provienne de A.

\[P(A \cap C) = P(A) imes P_A(C) = 0{,}6 imes 0{,}95 = \mathbf{0{,}57}\]

2b. Démontrer que \(P_B(C) = 0{,}85\).

Par la formule des probabilités totales :

\[P(C) = P(A)\cdot P_A(C) + P(B)\cdot P_B(C)\] \[0{,}91 = 0{,}57 + 0{,}4\,P_B(C) \implies P_B(C) = rac{0{,}34}{0{,}4} = 0{,}85 \quad\square\]

2c. Y a-t-il deux fois moins de chance qu'une tomate non commercialisable vienne de A que de B ?

\[P(A\cap\bar C)=0{,}6 imes0{,}05=0{,}03 \qquad P(B\cap\bar C)=0{,}4 imes0{,}15=0{,}06\] \[P_{\bar C}(A)= rac{0{,}03}{0{,}09}= rac{1}{3} \qquad P_{\bar C}(B)= rac{0{,}06}{0{,}09}= rac{2}{3}\]

On a bien \(P_{\bar C}(A)= frac{1}{2}P_{\bar C}(B)\). Le responsable a raison.

Partie B

1a. Loi de \(X\) et ses paramètres.

\[\boxed{X \sim \mathcal{B}(15\,;\,0{,}09)}\]

1b. \(P(X=2)\).

\[P(X=2)=\binom{15}{2}(0{,}09)^2(0{,}91)^{13}=105 imes0{,}0081 imes(0{,}91)^{13}\approx\mathbf{0{,}250}\]

1c. \(P(X\leq 2)\).

\[P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx0{,}243+0{,}361+0{,}250\approx\mathbf{0{,}854}\]

2a. \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).

\[E(F_n)=\mathbf{0{,}09} \qquad V(F_n)=\mathbf{ rac{0{,}0819}{n}}\]

2b. Démontrer que \(P(0{,}04 < F_n < 0{,}14)\geq 1-\dfrac{32{,}76}{n}\).

Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec \(t=0{,}05\) :

\[P(|F_n-0{,}09|\geq0{,}05)\leq rac{V(F_n)}{(0{,}05)^2}= rac{0{,}0819/n}{0{,}0025}= rac{32{,}76}{n}\] \[P(0{,}04

2c. Sur 500 tomates, 55 non commercialisables. Est-ce conforme ?

\(f_{500}=55/500=0{,}11\in]0{,}04\,;\,0{,}14[\). D'après 2b : \(P(0{,}04Résultat conforme.

Exercice 2 — Suites récurrentes 6 points

Chapitres en lien : Récurrence et Suites · Limites de suite · Python
Contexte : \(f(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\), suite \((u_n)\) avec \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).

Partie A — Étude de \(f\)

1. Résoudre \(f(x)=x\).

\[ rac{2x}{\sqrt{1+x^2}}=x \implies x\!\left( rac{2}{\sqrt{1+x^2}}-1 ight)=0\] \[\boxed{S=\{-\sqrt{3}\,;\,0\,;\,\sqrt{3}\}}\]

2a. Vérifier que \(f'(x)=\dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\).

\[f'(x)=2(1+x^2)^{-3/2}\!\left[(1+x^2)-x^2 ight]= rac{2}{(1+x^2)^{3/2}} \quad\square\]

2b. Sens de variation de \(f\).

\(f'(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Partie B — Convergence

1. Démontrer par récurrence que \(1\leq u_n\leq u_{n+1}<\sqrt{3}\).

Initialisation : \(u_0=1\), \(u_1=f(1)=\sqrt{2}\). On a \(1\leq1\leq\sqrt{2}<\sqrt{3}\). ✓

Hérédité : Si \(1\leq u_k\leq u_{k+1}<\sqrt{3}\), alors :

  • \(u_{k+1}\leq u_{k+2}\) : car \(f\) croissante et \(u_k\leq u_{k+1}\). ✓
  • \(u_{k+2}<\sqrt{3}\) : car \(u_{k+1}<\sqrt{3}\) et \(f(\sqrt{3})=\sqrt{3}\). ✓

Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\). \(\square\)

2. Limite de \((u_n)\).

\((u_n)\) est croissante et majorée par \(\sqrt{3}\), donc convergente. Sa limite \(ll\) vérifie \(ll=f(ll)\), soit \(ll\in\{-\sqrt{3},0,\sqrt{3}\}\). Comme \(u_n\geq1\), on a \(ll=\sqrt{3}\).

\[\boxed{\lim_{n o+\infty}u_n=\sqrt{3}}\]

3a. \((v_n)\) est géométrique de raison 4.

\[v_{n+1}= rac{u_{n+1}^2}{3-u_{n+1}^2}= rac{4u_n^2/(1+u_n^2)}{3-4u_n^2/(1+u_n^2)}= rac{4u_n^2}{3-u_n^2}=4v_n\]

Premier terme : \(v_0=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}\). \(\square\)

3b. Expression de \(u_n\).

\[v_n= rac{4^n}{2} \implies u_n=\sqrt{ rac{1{,}5 imes4^n}{1+0{,}5 imes4^n}}\]

3c. Limite par cette méthode.

\[\lim_{n o+\infty}u_n^2= rac{1{,}5 imes4^n}{1+0{,}5 imes4^n}\xrightarrow[n o\infty]{} rac{1{,}5}{0{,}5}=3 \implies \lim u_n=\sqrt{3}\]

Partie C — Somme \(S_n=u_0^2+\cdots+u_{n-1}^2\)

1. Compléter le script Python.

from math import *

def termes(p) :
    u = 1
    S = 0
    L = []
    for i in range(p) :
        S = S + u**2
        u = 2*u/sqrt(1+u**2)
        L.append(S)
    return L

2. Démontrer que \(n\leq S_n\leq 3n\).

Pour tout \(k\), \(1\leq u_k^2\leq3\). En sommant sur \(k=0\) à \(n-1\) : \(n\leq S_n\leq 3n\). \(\square\)

3. Limites de \(S_n\) et \(S_n/n^2\).

\(S_n\geq n o+\infty\) donc \(\lim S_n=+\infty\).

\(\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{S_n}{n^2}\leq\dfrac{3}{n} o0\) : par les gendarmes, \(\lim\dfrac{S_n}{n^2}=0\).

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace 5 points

Chapitres en lien : Vecteurs, droites et plans · Orthogonalité dans l'espace
Données : \(A(4;2;2)\), \(B(5;-2;3)\), \(C(1;1;1)\). Droite \(\Delta\) : \(x=1+2t\), \(y=1+t\), \(z=1+2t\). Plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A\), perpendiculaire à \(\Delta\).

1. \(\Delta\) passe par \(C\) mais pas par \(A\).

Pour C : \(t=0\) donne \((1,1,1)=C\). ✓   Pour A : \(t=3/2\) donne \(y=5/2 eq2\). ✗

2a. Équation cartésienne de \(\mathcal{P}\).

Vecteur normal de \(\mathcal{P}\) = vecteur directeur de \(\Delta\) = \((2;1;2)\). En passant par \(A(4;2;2)\) :

\[2(x-4)+(y-2)+2(z-2)=0 \implies \boxed{2x+y+2z-14=0}\]

2b. \(\mathcal{P}\) passe par \(B\) mais pas par \(C\).

\(B\) : \(10-2+6-14=0\). ✓   \(C\) : \(2+1+2-14=-9 eq0\). ✗

3a. \(D(3;2;3)\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \(\mathcal{P}\).

\(D\in\mathcal{P}\) : \(6+2+6-14=0\). ✓   \(\overrightarrow{CD}=(2;1;2)= ec{n}\perp\mathcal{P}\). ✓ \(\square\)

3b. \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) non coplanaires.

\(A\), \(B\), \(D\in\mathcal{P}\) et \(C otin\mathcal{P}\), donc les quatre points ne sont pas coplanaires. \(\square\)

3c. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\).

\[\overrightarrow{AB}=(1;-4;1),\quad\overrightarrow{AD}=(-1;0;1)\] \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=-1+0+1=\mathbf{0} \quad ext{(vecteurs orthogonaux)}\]

3d. Volume du tétraèdre \(ABCD\).

\[V= rac{1}{6}\left|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) ight|= rac{|-18|}{6}=\mathbf{3}\]

avec \(\overrightarrow{AC}=(-3;-1;-1)\) et \(\det=1(-1-0)+4(-3-1)+1(0-1)=-18\).

4a. Vérifier que \(H\!\left( frac{73}{29}; frac{-4}{29}; frac{51}{29} ight)\).

\[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=4+12+2=18,\quad\|\overrightarrow{BC}\|^2=29\] \[H=B+ rac{18}{29}\overrightarrow{BC}=\left( rac{73}{29}\,;\, rac{-4}{29}\,;\, rac{51}{29} ight)\quad\checkmark\]

4b. Aire du triangle \(ABC = \dfrac{3\sqrt{22}}{2}\).

\[\overrightarrow{BC} imes\overrightarrow{BA}=(5;-2;-13),\quad\|\overrightarrow{BC} imes\overrightarrow{BA}\|=\sqrt{198}=3\sqrt{22}\] \[ ext{Aire}(ABC)= rac{3\sqrt{22}}{2}\quad\square\]

4c. Distance de \(D\) au plan \((ABC)\).

\[3= rac{1}{3} imes rac{3\sqrt{22}}{2} imes h \implies h= rac{6}{\sqrt{22}}=\boxed{ rac{3\sqrt{22}}{11}}\]

Exercice 4 — Fonction \(f(x)=x(\ln x)^2\) 5 points

Chapitres en lien : Logarithme népérien · Dérivation et convexité · Primitives et équations différentielles · Calcul intégral

1. \(\lim_{x o+\infty}f(x)\).

\[\lim_{x o+\infty}f(x)=+\infty\]

2a. Montrer que \(f(x)=4(g(\sqrt{x}))^2\).

\[g(\sqrt{x})=\sqrt{x}\ln(\sqrt{x})= rac{\sqrt{x}\ln x}{2} \implies 4(g(\sqrt{x}))^2=4\cdot rac{x(\ln x)^2}{4}=f(x)\quad\square\]

2b. \(\lim_{x o0^+}f(x)\).

\(\lim_{t o0^+}g(t)=\lim t\ln t=0\), donc \(\lim_{x o0^+}f(x)=4 imes0^2=\mathbf{0}\).

3a. \(f'(x)=(\ln x)(2+\ln x)\).

\[f'(x)=(\ln x)^2+2\ln x=\ln x(\ln x+2)\quad\square\]

3b. Tableau de variations.

\(x\) \(0^+\) \(e^{-2}\) \(1\) \(+\infty\)
\(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f(x)\) \(0\) ↗ \( rac{4}{e^2}\) ↘ \(0\) ↗ \(+\infty\)

3c. Maximum de \(f\) sur \(]0;1]\).

\[f(e^{-2})=e^{-2}\cdot4=\boxed{ rac{4}{e^2}}\]

4a. Unicité de la solution de \(f(x)=2\).

Sur \([1;+\infty[\), \(f\) est continue, strictement croissante, \(f(1)=0\) et \(f o+\infty\). Par le TVI, il existe un unique \(\alpha\). Sur \(]0;1]\), \(f\leq4/e^2\approx0{,}54<2\) : pas de solution.

4b. Encadrement de \(\alpha\) d'amplitude 0,1.

\[f(2{,}4)\approx1{,}84<2<2{,}10\approx f(2{,}5) \implies \boxed{2{,}4<\alpha<2{,}5}\]

5a. Interprétation géométrique de \(\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x\).

C'est l'aire de la région délimitée par la courbe \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=1\) (car \(f\geq0\) sur \(]0;1]\)).

5b. IPP : \(\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x=-\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x\).

Intégration par parties avec \(u=(\ln x)^2\), \(v'=x\) :

\[\int_a^1 x(\ln x)^2\,\mathrm{d}x=\left[ rac{x^2}{2}(\ln x)^2 ight]_a^1-\int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x=- rac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x\quad\square\]

5c. Résultat final.

Seconde IPP avec \(u=\ln x\), \(v'=x\) :

\[\int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x=- rac{a^2\ln a}{2}- rac{1}{4}+ rac{a^2}{4}\]

Donc :

\[\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x=- rac{a^2}{2}(\ln a)^2+ rac{a^2}{2}\ln a+ rac{1}{4}- rac{a^2}{4}\quad\square\]

5d. Limite quand \(a o0^+\).

\(a^2(\ln a)^2 o0\) et \(a^2\ln a o0\) et \(a^2 o0\), donc :

\[\lim_{a o0^+}\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x=\boxed{ rac{1}{4}}\]

L'intégrale impropre \(\int_0^1 x(\ln x)^2\,\mathrm{d}x\) converge et vaut \(\dfrac{1}{4}\).