Chapitre 3 — Géométrie

Vecteurs, droites et plans de l'espace

Vecteurs de l'espace. Droites et plans. Positions relatives.

Atelier interactif — Sections de solides

Construire des sections du cube et du tétraèdre : exercices guidés et en autonomie, solutions animées, trois points mobiles et rotations autour des trois axes.

Ouvrir l’atelier de construction des sections →

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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)

Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs donnés.
Exploiter une figure pour exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs.
Décrire la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans.
Lire sur une figure si deux vecteurs d'un plan, trois vecteurs de l'espace, forment une base.
Lire sur une figure la décomposition d'un vecteur dans une base.
Étudier géométriquement des problèmes simples de configurations dans l'espace (alignement, colinéarité, parallélisme, coplanarité).

Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)

Aucune démonstration exigible dans le BO pour ce chapitre.

1. Introduction

La géométrie de l'espace est une extension naturelle de la géométrie plane. On travaille désormais dans un espace à trois dimensions, où les points sont repérés par trois coordonnées \((x, y, z)\). Les notions de vecteurs, de droites et de plans se généralisent, mais de nouvelles configurations apparaissent : deux droites peuvent être gauches (non coplanaires), un plan peut être parallèle à une droite sans la contenir, etc.

La maîtrise du repère de l'espace \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) et du calcul vectoriel en coordonnées est la clé pour résoudre efficacement les problèmes de géométrie dans l'espace.

💡 Lien avec le programme : Ce chapitre prépare directement le chapitre sur l'orthogonalité dans l'espace (chapitre 7), où l'on introduira le produit scalaire en 3D et les plans définis par une équation cartésienne.

2. Cours

A — Vecteurs de l'espace

Définition — Vecteur et translation

La translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est la transformation qui à tout point \(M\) associe le point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}\).

Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur, c'est-à-dire si \(ABDC\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Théorème — Existence et unicité du translaté

Pour tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) et tout point \(A\) de l'espace, il existe un unique point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{u}\).

Propriétés — Opérations sur les vecteurs

Addition (règle du parallélogramme) : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\) où \(ABDC\) est un parallélogramme.
Relation de Chasles : Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) de l'espace : \[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\]
Vecteur nul : \(\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\) et \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\).
Multiplication par un scalaire : Pour \(k \in \mathbb{R}\), \(k\overrightarrow{u}\) est le vecteur colinéaire à \(\overrightarrow{u}\), de norme \(|k|\,\|\overrightarrow{u}\|\), de même sens si \(k > 0\), de sens opposé si \(k < 0\).
\(k\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \iff k = 0\) ou \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\).
Distributivité : \((k+k')\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{u} + k'\overrightarrow{u}\) et \(k(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) = k\overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v}\).

B — Droites et plans de l'espace

Définition — Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\) (ou \(\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}\)).

Propriété — Alignement de trois points

Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Propriétés fondamentales de l'espace

Par deux points distincts passe une unique droite.
Par trois points non alignés passe un unique plan.
Si une droite a deux de ses points dans un plan, elle est entièrement incluse dans ce plan.
Deux plans distincts sont soit parallèles, soit sécants selon une droite.

Définition — Droite et plan paramétriques

Droite \((AB)\) : C'est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}\) pour un certain \(k \in \mathbb{R}\). Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est appelé vecteur directeur de la droite.

Plan \((ABC)\) : C'est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}\) pour certains \(x, y \in \mathbb{R}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont des vecteurs directeurs du plan.

C — Positions relatives de droites et de plans

Positions relatives de deux droites

Coplanaires : les deux droites sont dans un même plan. Dans ce cas, elles sont soit parallèles (sans point commun), soit sécantes (un point commun).
Non coplanaires (gauches) : les deux droites ne sont dans aucun plan commun. Elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.

Pas de point commun, même direction

Un point commun \(I\), dans le même plan

Non coplanaires — aucun plan commun

Ne pas confondre droites non sécantes (peuvent être parallèles) et droites gauches (non coplanaires). Deux droites gauches ne sont ni parallèles ni sécantes — cette situation n'existe pas dans le plan !

Positions relatives d'une droite et d'un plan

Droite incluse dans le plan : tous les points de la droite sont dans le plan.
Droite strictement parallèle au plan : aucun point commun, la droite est parallèle à une droite du plan.
Droite sécante au plan : exactement un point commun (le point de percée).

\(d \subset (\mathcal{P})\)

\(d \parallel (\mathcal{P})\), aucun point commun

Un seul point commun (point de percée \(A\))

Positions relatives de deux plans

Plans parallèles : aucun point commun.
Plans sécants : leur intersection est une droite.
Plans confondus : ils sont identiques.

\(\mathcal{P}_1 \parallel \mathcal{P}_2\)

Intersection = droite \(\Delta\)

Plans identiques

Théorème — Intersection de deux plans et droites parallèles

Si deux plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) contiennent chacun une droite parallèle à l'autre, alors leur intersection est une droite parallèle à ces deux droites.

Le plan \(\mathcal{Q}\) coupe \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) selon deux droites parallèles à \(d_1\) et \(d_2\).

Théorème — Plans parallèles

Si deux plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont parallèles, tout plan \(\mathcal{Q}\) qui coupe l'un coupe l'autre, et les droites d'intersection \(\mathcal{Q} \cap \mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{Q} \cap \mathcal{P}_2\) sont parallèles entre elles.

D — Repère de l'espace

Définition — Base et repère de l'espace

Un triplet de vecteurs \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) forme une base de l'espace si aucun des trois vecteurs n'est combinaison linéaire des deux autres (i.e. ils sont non coplanaires).

Un repère de l'espace est la donnée d'un point origine \(O\) et d'une base \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\). On le note \((O\,;\,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\).

Propriété — Décomposition unique

Dans un repère \((O\,;\,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\) :

Tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) s'écrit de manière unique : \(\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}\). On note \(\overrightarrow{u}(x\,;\,y\,;\,z)\).
Tout point \(M\) a des coordonnées uniques \((x_M\,;\,y_M\,;\,z_M)\) telles que \(\overrightarrow{OM} = x_M\overrightarrow{i} + y_M\overrightarrow{j} + z_M\overrightarrow{k}\).

Propriété — Coordonnées usuelles

Soient \(A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)\) deux points du repère.

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A\end{pmatrix}\]
Milieu de \([AB]\) : \[I\!\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\,;\,\frac{z_A+z_B}{2}\right)\]

Représentation paramétrique d'une droite

La droite passant par \(A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)\) avec le vecteur directeur \(\overrightarrow{u}(a\,;\,b\,;\,c)\) admet la représentation paramétrique :

\[\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}\]

Un point \(P(x_P\,;\,y_P\,;\,z_P)\) est sur cette droite si et seulement si le système en \(t\) admet une solution.

Méthode — Opérations sur les coordonnées

Addition : \(\overrightarrow{u}(a;b;c)\) et \(\overrightarrow{v}(a';b';c')\) donnent \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}(a+a'\,;\,b+b'\,;\,c+c')\).

Multiplication par un scalaire : \(k\overrightarrow{u}(ka\,;\,kb\,;\,kc)\).

Colinéarité : \(\overrightarrow{u}(a;b;c)\) et \(\overrightarrow{v}(a';b';c')\) sont colinéaires si les rapports \(\dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'}\) (ou si un vecteur est nul).

Atelier guidé — Coordonnées dans l’espace pas à pas

Coordonnées d’un vecteur, coordonnées d’un milieu et combinaisons de vecteurs. Rédaction à compléter et exercices aléatoires illimités.

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Atelier guidé — Colinéarité et alignement pas à pas

Colinéarité de deux vecteurs, alignement de trois points, droites parallèles, et un défi : trouver le paramètre \(m\) qui rend deux vecteurs colinéaires.

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Atelier guidé — Représentation paramétrique pas à pas

Écrire et lire une représentation paramétrique, tester si un point appartient à une droite, puis paramétrer la droite \((AB)\).

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Atelier guidé — Positions relatives et coplanarité pas à pas

Droites parallèles ou confondues, sécantes ou non coplanaires, coplanarité de trois vecteurs, et un défi : quatre points sont-ils coplanaires ?

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Atelier guidé — Intersection de plans et théorème du toit

Plans parallèles ou sécants, droite d’intersection à partir de deux points communs, théorème du toit sur le cube, la pyramide et le tétraèdre, et un défi : la droite d’intersection en coordonnées. Figures et exercices aléatoires illimités.

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Atelier guidé — Systèmes d'équations pas à pas

Substitution, combinaison, systèmes de trois équations à deux inconnues, et un défi : pour quelle valeur de \(m\) deux droites de l'espace sont-elles sécantes ?

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Animation — Systèmes, coplanarité et droites concourantes

Résoudre un système de trois équations à deux inconnues pour montrer que trois vecteurs sont coplanaires ou que deux droites sont concourantes : quatre résolutions animées avec une figure 3D, puis des exercices aléatoires corrigés étape par étape.

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3. Exemples guidés

Exemple 1 — Relation de Chasles : simplification

Simplifier \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\).

Solution : On applique la relation de Chasles successivement :

\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\]

Ce résultat est toujours vrai : la somme des vecteurs d'un contour fermé est le vecteur nul.

Exemple 2 — Calculs de base en coordonnées

Soient \(A(1\,;\,2\,;\,3)\) et \(B(3\,;\,-1\,;\,0)\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

Solution :

Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : \[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-1 \\ -1-2 \\ 0-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ -3\end{pmatrix}\]
Milieu \(I\) : \[I\!\left(\frac{1+3}{2}\,;\,\frac{2+(-1)}{2}\,;\,\frac{3+0}{2}\right) = I\!\left(2\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{3}{2}\right)\]

Exemple 3 — Représentation paramétrique et vérification d'appartenance

Soit la droite \(d\) passant par \(A(2\,;\,1\,;\,-1)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}(1\,;\,-2\,;\,3)\). Donner une représentation paramétrique. Le point \(P(4\,;\,-3\,;\,5)\) appartient-il à \(d\) ?

Représentation paramétrique : \[\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = -1 + 3t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\]

Test pour \(P(4\,;\,-3\,;\,5)\) : On cherche \(t\) tel que :

\[4 = 2 + t \Rightarrow t = 2 \qquad -3 = 1 - 2t \Rightarrow t = 2 \qquad 5 = -1 + 3t \Rightarrow t = 2\]

Les trois équations donnent la même valeur \(t = 2\). Donc \(P \in d\). ✓

Exemple 4 — Trois points non alignés

Montrer que \(A(1\,;\,0\,;\,0)\), \(B(0\,;\,1\,;\,0)\) et \(C(0\,;\,0\,;\,1)\) ne sont pas alignés.

Solution :

\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\]

Ces vecteurs seraient colinéaires s'il existait \(k\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\). Cela impliquerait \(-1 = -k\), \(1 = 0\) et \(0 = k\), ce qui est impossible. Donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires, et \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.

4. Exercices progressifs

⭐ Facile Exercice 1 — Coordonnées et milieu

Soient \(A(2\,;\,-1\,;\,3)\) et \(B(0\,;\,4\,;\,1)\).

Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

1. Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : \[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0-2\\4-(-1)\\1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\5\\-2\end{pmatrix}\]

2. Milieu \(I\) : \[I\!\left(\frac{2+0}{2}\,;\,\frac{-1+4}{2}\,;\,\frac{3+1}{2}\right) = I\!\left(1\,;\,\frac{3}{2}\,;\,2\right)\]

⭐ Facile Exercice 2 — Représentation paramétrique et appartenance

Soit la droite \(d\) passant par \(A(1\,;\,0\,;\,2)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}(2\,;\,-1\,;\,3)\).

Donner une représentation paramétrique de \(d\).
Le point \(P(3\,;\,-1\,;\,5)\) appartient-il à \(d\) ?

1. Représentation paramétrique : \[\begin{cases}x = 1+2t \\ y = -t \\ z = 2+3t\end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\]

2. Test pour \(P(3\,;\,-1\,;\,5)\) :

Équation en \(x\) : \(3 = 1+2t \Rightarrow t = 1\)
Équation en \(y\) : \(-1 = -t \Rightarrow t = 1\)
Équation en \(z\) : \(5 = 2+3t \Rightarrow t = 1\)

Les trois équations donnent \(t = 1\). Donc \(P \in d\). ✓

⭐⭐ Moyen Exercice 3 — Coplanarité de vecteurs

Soit \(O\) l'origine du repère. Les points \(A(1\,;\,1\,;\,0)\), \(B(2\,;\,0\,;\,1)\), \(C(0\,;\,2\,;\,-1)\) sont-ils coplanaires avec \(O\) ? (c'est-à-dire \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) sont-ils coplanaires ?)

Trois vecteurs \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) sont coplanaires si et seulement si l'un est combinaison linéaire des deux autres. Cherchons si \(\overrightarrow{OC} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}\).

\[\begin{cases}0 = \alpha + 2\beta \\ 2 = \alpha + 0\beta \\ -1 = 0\alpha + \beta\end{cases}\]

De la deuxième équation : \(\alpha = 2\). De la troisième : \(\beta = -1\).

Vérification dans la première : \(\alpha + 2\beta = 2 + 2(-1) = 0\). ✓

Donc \(\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\). Les trois vecteurs sont coplanaires, et \(O\), \(A\), \(B\), \(C\) sont bien dans un même plan.

⭐⭐ Moyen Exercice 4 — Positions relatives de deux droites

Étudier les positions relatives des droites \(d_1\) et \(d_2\) : \[d_1 : \begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=-t\end{cases} \qquad d_2 : \begin{cases}x=2+s\\y=1+s\\z=1-s\end{cases}\]

Les vecteurs directeurs sont \(\overrightarrow{u_1}(1\,;\,2\,;\,-1)\) et \(\overrightarrow{u_2}(1\,;\,1\,;\,-1)\).

Colinéarité ? \(\overrightarrow{u_1} = k\overrightarrow{u_2}\) impliquerait \(1=k\), \(2=k\), \(-1=-k\), ce qui est impossible. Les droites ne sont pas parallèles.

Intersection ? On cherche \(t, s\) tels que :

\[\begin{cases}1+t = 2+s \\ 2t = 1+s \\ -t = 1-s\end{cases}\]

De l'équation (1) : \(t = 1+s\). On substitue dans (2) : \(2(1+s) = 1+s \Rightarrow 2+2s = 1+s \Rightarrow s = -1\), donc \(t = 0\).

Vérification dans (3) : \(-t = -0 = 0\) et \(1-s = 1-(-1) = 2\). On a \(0 \neq 2\) : contradiction.

Les droites ne sont pas parallèles et ne se coupent pas : elles sont gauches (non coplanaires).

⭐⭐⭐ Difficile Exercice 5 — Droites gauches dans un cube

On considère un cube \(ABCDA'B'C'D'\) de côté 1, avec \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\), \(D(0;1;0)\), \(A'(0;0;1)\), \(B'(1;0;1)\), \(C'(1;1;1)\), \(D'(0;1;1)\). Montrer que les diagonales \((AG)\) et \((BH)\) où \(G = C'\) et \(H = D'\) sont des droites gauches.

Posons \(G = C'(1;1;1)\) et \(H = D'(0;1;1)\).

Vecteurs directeurs :

\[\overrightarrow{AC'}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BD'}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\]

Colinéarité ? \((1;1;1)\) et \((-1;1;1)\) : rapport \(-1/1 \neq 1/1\). Non colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles.

Intersection ? On cherche \(t, s\) tels que :

\[A + t\overrightarrow{AC'} = B + s\overrightarrow{BD'}\] \[\begin{cases}t = 1 - s \\ t = s \\ t = s\end{cases}\]

Les équations (2) et (3) donnent \(t = s\). Substituant dans (1) : \(s = 1-s \Rightarrow 2s = 1 \Rightarrow s = \tfrac{1}{2}\), donc \(t = \tfrac{1}{2}\).

Vérification dans (1) : \(t = \tfrac{1}{2}\) et \(1 - s = \tfrac{1}{2}\). ✓ Hmm, il semblerait que ces droites se coupent.

Point d'intersection : \(A + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = (0+\tfrac{1}{2}\,;\,0+\tfrac{1}{2}\,;\,0+\tfrac{1}{2}) = (\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{1}{2})\). Ce point est bien le centre du cube.

En réalité, \(AC'\) et \(BD'\) sont les deux grandes diagonales du cube et se croisent en son centre. Pour trouver deux droites vraiment gauches, on peut prendre \((AB')\) et \((DC')\) :

\(\overrightarrow{AB'} = (1;0;1)\) et \(\overrightarrow{DC'} = (1;0;1)\) : ces vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles (pas gauches non plus).

Prenons \((AB')\) et \((CD')\) : \(\overrightarrow{AB'} = (1;0;1)\), \(\overrightarrow{CD'} = (-1;0;1)\). Non colinéaires. Intersection : \(t = s_0\) ... ce système n'a pas de solution (les droites sont gauches). Ces deux arêtes d'un cube constituent un exemple classique de droites gauches.

⭐⭐⭐ Difficile Exercice 6 — Plan passant par trois points

Soient \(A(1\,;\,0\,;\,0)\), \(B(0\,;\,1\,;\,0)\), \(C(0\,;\,0\,;\,1)\). Exprimer \(\overrightarrow{AM}\) pour un point générique \(M(x;y;z)\) du plan \((ABC)\) comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

On calcule les vecteurs :

\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-1\\y\\z\end{pmatrix}\]

M est dans le plan \((ABC)\) si et seulement si il existe \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) tels que \(\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}\) :

\[\begin{cases}x-1 = -\lambda - \mu \\ y = \lambda \\ z = \mu\end{cases}\]

On tire \(\lambda = y\) et \(\mu = z\), et la première équation donne \(x - 1 = -y - z\), soit \(x + y + z = 1\).

Le plan \((ABC)\) a pour équation cartésienne \(\boxed{x + y + z = 1}\), et pour un point générique \(M\) de ce plan :

\[\overrightarrow{AM} = y\,\overrightarrow{AB} + z\,\overrightarrow{AC}\]

🔧 Fiches méthodes

Calculer dans un repère de l’espace, justifier un alignement ou une coplanarité et étudier des droites. Chaque méthode précise les conditions d’application et les vérifications à rédiger.

1. Calculer les coordonnées d’un vecteur et d’une combinaison linéaire

Étape 1. Repérer le départ \(A\) et l’arrivée \(B\).

Étape 2. Soustraire les coordonnées du départ à celles de l’arrivée : \[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}.\]

Étape 3. Pour additionner des vecteurs ou multiplier par un réel, calculer séparément les trois composantes.

Exemple. \(A(2;-1;3)\), \(B(-4;5;-1)\), \(C(1;2;0)\).

\[\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-6\\6\\-4\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-3\end{pmatrix}.\]

\[2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-12-(-1)\\12-3\\-8-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-11\\9\\-5\end{pmatrix}.\]

À vérifier : \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\). Un point et un vecteur sont des objets différents : on écrit les coordonnées du point \(A\), mais le vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

2. Trouver un milieu ou une extrémité connaissant le milieu

Étape 1. Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), faire la moyenne des coordonnées correspondantes : \[I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right).\]

Étape 2. Si \(A\) et le milieu \(I\) sont connus, isoler les coordonnées de \(B\) : \[x_B=2x_I-x_A,\quad y_B=2y_I-y_A,\quad z_B=2z_I-z_A.\]

Étape 3. Vérifier par \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\).

Exemple. Pour \(A(-3;4;1)\) et \(B(5;-2;7)\), le milieu est \(I(1;1;4)\). On vérifie : \[\overrightarrow{AI}=\begin{pmatrix}4\\-3\\3\end{pmatrix}=\overrightarrow{IB}.\]

Piège : un milieu se calcule avec des sommes, les coordonnées d’un vecteur avec des différences.

3. Tester la colinéarité et l’alignement sans diviser par zéro

Étape 1. Si l’un des deux vecteurs est nul, les deux vecteurs sont colinéaires.

Étape 2. Sinon, choisir un vecteur non nul \(\vec u\) et chercher un unique réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\). Utiliser une composante non nulle de \(\vec u\) pour déterminer \(k\).

Étape 3. Vérifier les deux autres composantes avec le même \(k\). Une seule contradiction suffit pour conclure à la non-colinéarité.

Application. Pour tester l’alignement de \(A,B,C\), appliquer cette méthode à \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

Exemple. \(\vec u=(1;0;2)\) et \(\vec v=(3;0;6)\). La première composante impose \(k=3\). On vérifie \(0=3\times0\) et \(6=3\times2\). Donc \(\vec v=3\vec u\) et les vecteurs sont colinéaires.

Piège : les quotients entre coordonnées ne sont utilisables que si leurs dénominateurs sont non nuls. La méthode du scalaire traite aussi les coordonnées nulles.

4. Tester la coplanarité de trois vecteurs ou de quatre points

Étape 1. Choisir deux vecteurs \(\vec u,\vec v\) et vérifier qu’ils ne sont pas colinéaires.

Étape 2. Chercher deux réels \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\), soit \[\begin{cases}w_x=a u_x+b v_x\\w_y=a u_y+b v_y\\w_z=a u_z+b v_z.\end{cases}\]

Étape 3. Résoudre à l’aide de deux équations indépendantes, puis vérifier la troisième. Si le même couple \((a,b)\) satisfait les trois équations, les vecteurs sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Cas particulier. Si la paire choisie est colinéaire, choisir une autre paire non colinéaire. Si tous les vecteurs sont colinéaires entre eux, ils sont coplanaires.

Exemple avec vérification complète. \(\vec u=(1;2;-1)\), \(\vec v=(2;-1;3)\), \(\vec w=(0;5;-5)\). Les deux premiers vecteurs ne sont pas colinéaires : la première composante donnerait \(k=2\), mais \(-1\ne2\times2\).

\[\begin{cases}a+2b=0\\2a-b=5\\-a+3b=-5.\end{cases}\]

La première équation donne \(a=-2b\). Dans la deuxième, \(-5b=5\), donc \(b=-1\), puis \(a=2\). La troisième est bien vérifiée : \(-2+3(-1)=-5\). Donc \(\vec w=2\vec u-\vec v\) et les trois vecteurs sont coplanaires.

Pour \(\vec t=(0;5;-4)\), les deux premières équations donnent encore \((a,b)=(2,-1)\), mais la troisième exigerait \(-5=-4\). Ainsi \(\vec u,\vec v,\vec t\) ne sont pas coplanaires.

Application à quatre points. Pour \(A(1;-1;2)\), \(B(3;0;1)\), \(C(0;1;3)\), \(D(6;-1;-1)\), on obtient \[\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}5\\0\\-3\end{pmatrix}.\]

\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires : la première composante imposerait \(k=-\frac12\), incompatible avec la deuxième. Comme \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\), le point \(D\) appartient au plan \((ABC)\). Les quatre points sont coplanaires.

À retenir : pour utiliser le plan \((ABC)\), justifier d’abord que \(A,B,C\) ne sont pas alignés. Pour quatre points quelconques, tester la coplanarité de \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\), avec le traitement des paires colinéaires indiqué ci-dessus.

5. Paramétrer une droite et vérifier l’appartenance d’un point

Étape 1. Identifier un point \(A\) et un vecteur directeur non nul \(\vec u=(a;b;c)\).

Étape 2. Écrire \[d:\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases}\quad(t\in\mathbb R).\]

Étape 3. Pour tester un point \(P\), remplacer \(x,y,z\) par ses coordonnées. Déterminer \(t\) avec une équation dont le coefficient est non nul, puis vérifier les deux autres équations avec cette même valeur.

Exemple. Avec \(A(2;1;-1)\) et \(\vec u=(1;0;2)\), on a \[d:\begin{cases}x=2+t\\y=1\\z=-1+2t.\end{cases}\]

Pour \(P(4;1;3)\), la première équation donne \(t=2\) ; les deux autres donnent \(1=1\) et \(3=-1+2\times2\). Donc \(P\in d\). Le point \(Q(4;2;3)\) n’appartient pas à \(d\), car sa deuxième coordonnée n’est pas égale à \(1\).

Piège : une composante nulle du vecteur directeur donne une coordonnée constante sur la droite, pas une division par zéro.

6. Déterminer la position relative de deux droites

Étape 1. Comparer leurs vecteurs directeurs non nuls.

Étape 2. S’ils sont colinéaires, les droites sont parallèles. Tester un point de l’une sur l’autre : s’il appartient à l’autre, les droites sont confondues ; sinon elles sont strictement parallèles.

Étape 3. S’ils ne sont pas colinéaires, rechercher un point commun en égalant les trois coordonnées, avec deux paramètres distincts \(t\) et \(s\). Résoudre deux équations indépendantes et vérifier la troisième.

Conclusion. Si le système admet une solution, les droites sont sécantes ; s’il n’en admet aucune, elles sont gauches, donc non coplanaires.

Exemple. \[d_1:\begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=-t\end{cases}\qquad d_2:\begin{cases}x=2+s\\y=1+s\\z=1-s.\end{cases}\]

Les vecteurs \((1;2;-1)\) et \((1;1;-1)\) ne sont pas colinéaires. Un point commun imposerait \[\begin{cases}1+t=2+s\\2t=1+s\\-t=1-s.\end{cases}\]

Les deux premières équations donnent \(t=0\), \(s=-1\). La troisième donne alors \(0=2\), ce qui est impossible. Les droites sont donc gauches.

Piège : « aucun point commun » ne suffit pas à conclure « droites gauches » ; il faut aussi exclure le cas de droites parallèles.

Pour la suite : les vecteurs normaux, les équations cartésiennes de plans et les distances aux plans sont étudiés dans le chapitre 7 — Orthogonalité et distances.

📌 Fiche de synthèse

Formules de base en coordonnées

Objet	Formule
\(\overrightarrow{AB}\)	\((x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)\)
Milieu de \([AB]\)	\(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\)
Droite \((A, \overrightarrow{u})\)	\(x = x_A+at\,,\ y = y_A+bt\,,\ z = z_A+ct\)

Positions relatives — synthèse

Objets	Cas possibles
Deux droites	Parallèles / Sécantes / Gauches
Droite et plan	Incluse / Strictement parallèle / Sécante
Deux plans	Confondus / Parallèles / Sécants (droite)

Relation de Chasles

\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \qquad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}\]

⚠️ Erreurs fréquentes :

Confondre deux droites non parallèles et non sécantes (elles peuvent être gauches dans l'espace).
Oublier qu'un repère de l'espace exige trois vecteurs non coplanaires.
Pour vérifier qu'un point est sur une droite : résoudre le système paramétrique et vérifier la cohérence (même valeur de \(t\) dans les 3 équations).

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