Dérivation et convexité
Dérivée composée, dérivée seconde, convexité, points d'inflexion.
📄 Télécharger le PDF📋 Sommaire
Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Calculer la dérivée d'une fonction donnée par une formule simple mettant en jeu opérations algébriques et composition.
- Calculer la fonction dérivée, déterminer les limites et étudier les variations d'une fonction construite simplement à partir des fonctions de référence.
- Démontrer des inégalités en utilisant la convexité d'une fonction.
- Esquisser l'allure de la courbe représentative d'une fonction \(f\) à partir de tableaux de variations de \(f\), de \(f'\) ou de \(f'').
- Lire sur une représentation graphique les intervalles où \(f\) est convexe, concave, et les points d'inflexion ; dans le cadre de la résolution de problème, étudier et utiliser la convexité d'une fonction.
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
- Si \(f''\) est positive sur \(I\), alors la courbe représentative de \(f\) est au-dessus de ses tangentes.
1. Introduction
En Première, vous avez appris à dériver les fonctions usuelles et à étudier les variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée. En Terminale, nous allons pousser cette étude plus loin grâce à deux outils puissants :
- La dérivée d'une fonction composée, qui permet de dériver des expressions plus complexes comme \(e^{2x-1}\), \(\sqrt{x^2+1}\), \(\cos(3x)\), etc.
- La dérivée seconde et la notion de convexité, qui permettent de décrire la courbure d'une courbe et de localiser les points d'inflexion.
La dérivée seconde \(f''\) nous dira, elle, si la courbe est « creusée vers le haut » ou « creusée vers le bas » — c'est-à-dire si elle est convexe ou concave.
2. Cours
A. Compléments sur les dérivées
A.1 Dérivée d'une fonction composée
Soient \(u\) définie sur \(I\) à valeurs dans \(J\) et \(v\) définie sur \(J\). La composée \(v \circ u\) est définie sur \(I\) par : \[ (v \circ u)(x) = v(u(x)) \] On lit « \(v\) composée de \(u\) ».
Si \(u\) est dérivable sur \(I\) et \(v\) dérivable sur \(J\), alors \(v \circ u\) est dérivable sur \(I\) et : \[ (v \circ u)'(x_0) = u'(x_0) \times v'(u(x_0)) \] En pratique : on dérive la fonction extérieure (en laissant l'intérieur intact), puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.
Deux cas à connaître absolument :
- Si \(f(x) = e^{u(x)}\), alors \(f\) est dérivable et : \[ f'(x) = u'(x)\,e^{u(x)} \]
- Si \(f(x) = \sqrt{u(x)}\) avec \(u(x) > 0\), alors \(f\) est dérivable et : \[ f'(x) = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} \]
Exemple : avec \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = x+1\) : \[ u(v(x)) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \quad \text{et} \quad v(u(x)) = x^2 + 1 \] Ces deux expressions sont bien différentes.
A.2 Dérivée seconde
Si \(f'\) est dérivable sur \(I\), on note \(f''\) sa dérivée, appelée dérivée seconde de \(f\). \[ f'' = (f')' \] La dérivée seconde mesure le taux de variation de la dérivée, c'est-à-dire la façon dont la pente de la courbe évolue.
B. Convexité
B.1 Fonctions convexes et concaves
Une sécante à la courbe \(\mathcal{C}_f\) est une droite \((AB)\) où \(A\) et \(B\) sont deux points distincts de \(\mathcal{C}_f\).
- \(f\) est convexe sur \(I\) si sa courbe est en dessous de chacune de ses sécantes entre les points d'intersection (la courbe est « creusée vers le haut »).
- \(f\) est concave sur \(I\) si sa courbe est au-dessus de ses sécantes (la courbe est « en cloche »).
Courbe en dessous de la sécante
\( f''(x) \geq 0 \) — « creusée vers le haut »
Courbe au-dessus de la sécante
\( f''(x) \leq 0 \) — « en cloche »
Si \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\), les propositions suivantes sont équivalentes :
- \(f\) est convexe sur \(I\)
- \(f'\) est croissante sur \(I\)
- \(f''\) est positive sur \(I\) \(\bigl(f''(x) \geq 0 \text{ pour tout } x \in I\bigr)\)
Si \(f\) est convexe sur \(I\), alors la courbe de \(f\) est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Si \(f\) est concave sur \(I\), alors la courbe de \(f\) est en dessous de chacune de ses tangentes.
Courbe au-dessus de chaque tangente
\( f''(x) \geq 0 \)
Courbe en dessous de chaque tangente
\( f''(x) \leq 0 \)
B.2 Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente. En ce point, la courbe change de sens de courbure (de convexe à concave ou inversement).
Le point \(A\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)\) est un point d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\) si et seulement si \(f''\) s'annule en \(a\) en changeant de signe.
La courbe traverse sa tangente :
concave pour \(x < 0\) \(\bigl(f''(x)=6x<0\bigr)\), convexe pour \(x > 0\) \(\bigl(f''(x)>0\bigr)\)
Atelier guidé — Dérivée d'une composée pas à pas
Dériver \(e^{u}\), \(\sqrt{u}\), \(u^{n}\) et \(\dfrac{1}{u}\), puis un défi : dériver \((px+q)e^{ax}\) et étudier ses variations. Rédaction à compléter et exercices aléatoires illimités.
Atelier guidé — Dérivée seconde et convexité pas à pas
Signe de \(f''\), intervalles de convexité et points d'inflexion pour des polynômes et des fonctions avec l'exponentielle, puis un défi : démontrer une inégalité grâce à une tangente.
Animation — Tangente et convexité
Faites glisser une tangente le long de la courbe : au-dessus quand \(f\) est convexe, en dessous quand elle est concave, et elle traverse la courbe au point d'inflexion. La courbe de \(f'\) s'affiche en dessous, avec des questions aléatoires.
Animation — Étudier la convexité pas à pas
Quatre études résolues en animation : \(f'\), \(f''\), signe de \(f''\), convexité et points d'inflexion, avec la figure qui se construit à chaque étape, jusqu'à l'inégalité \(e^{x}\geq x+1\).
3. Exemples guidés
On pose \(u(x) = 2x - 1\), donc \(f(x) = e^{u(x)}\).
On pose \(u(x) = 3x^2 + 1\), donc \(g(x) = \sqrt{u(x)}\).
On utilise la règle du produit \((uv)' = u'v + uv'\) avec \(u(x) = e^{x^2}\) et \(v(x) = 2x+1\).
Nous allons calculer les dérivées, étudier la convexité et trouver le point d'inflexion.
- Si \(x < 0\) : \(f''(x) = 6x < 0\) → \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;\,0[\).
- Si \(x > 0\) : \(f''(x) = 6x > 0\) → \(f\) est convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Montrons que \(e^x \geq 1 + x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) à l'aide de la convexité.
4. Exercices progressifs
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
- \(f(x) = e^{3x+1}\)
- \(g(x) = (2x-1)^4\)
a) \(f(x) = e^{3x+1}\)
On pose \(u(x) = 3x+1\), donc \(u'(x) = 3\). Par la formule \((e^u)' = u'e^u\) :
\[ f'(x) = 3\,e^{3x+1} \]b) \(g(x) = (2x-1)^4\)
On pose \(u(x) = 2x-1\), donc \(u'(x) = 2\). Par la formule \((u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}\) :
\[ g'(x) = 4 \times 2 \times (2x-1)^3 = 8(2x-1)^3 \]Calculer la dérivée de \(h(x) = \sqrt{x^2 + 4}\) et préciser son domaine de dérivabilité.
On pose \(u(x) = x^2 + 4\). Comme \(u(x) = x^2 + 4 \geq 4 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(h\) est bien définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
On calcule \(u'(x) = 2x\). Puis :
\[ h'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \]Soit \(f(x) = e^x(x^2 - 2x + 2)\).
- Calculer \(f'(x)\) et simplifier.
- Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
1) Calcul de \(f'(x)\) :
On utilise la règle du produit avec \(u = e^x\) et \(v = x^2 - 2x + 2\) :
\[ f'(x) = e^x(x^2-2x+2) + e^x(2x-2) = e^x\bigl(x^2-2x+2+2x-2\bigr) = e^x \cdot x^2 \]Donc \(f'(x) = x^2 e^x\).
2) Signe de \(f'(x)\) :
Comme \(e^x > 0\) toujours et \(x^2 \geq 0\) toujours, on a \(f'(x) \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
\(f'(x) = 0\) uniquement en \(x = 0\).
Donc \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) (elle « marque une pause » en \(x = 0\) sans jamais décroître).
La valeur \(f(0) = e^0(0-0+2) = 2\) est un minimum global.
Soit \(f(x) = x^4 - 6x^2\).
- Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
- Étudier la convexité de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
- Trouver les points d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\).
1) Calcul des dérivées :
\[ f'(x) = 4x^3 - 12x = 4x(x^2-3) \] \[ f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2-1) = 12(x-1)(x+1) \]2) Signe de \(f''(x)\) :
- \(x < -1\) : \((x-1) < 0\) et \((x+1) < 0\), donc \(f''(x) = 12(+) > 0\) → convexe
- \(-1 < x < 1\) : \((x-1) < 0\) et \((x+1) > 0\), donc \(f''(x) = 12(-) < 0\) → concave
- \(x > 1\) : \((x-1) > 0\) et \((x+1) > 0\), donc \(f''(x) = 12(+) > 0\) → convexe
3) Points d'inflexion :
\(f''(x) = 0\) pour \(x = -1\) et \(x = 1\), et \(f''\) change de signe en ces deux valeurs.
- En \(x = -1\) : \(f(-1) = 1 - 6 = -5\). Point d'inflexion : \((-1\,;\,-5)\).
- En \(x = 1\) : \(f(1) = 1 - 6 = -5\). Point d'inflexion : \((1\,;\,-5)\).
Le but est de montrer que \(e^x \geq 1 + x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
- Poser \(g(x) = e^x - 1 - x\). Calculer \(g'(x)\) et \(g''(x)\).
- Montrer que \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
- Montrer que \(g\) admet un minimum global et calculer ce minimum.
- Conclure.
1) Dérivées de \(g\) :
\[ g'(x) = e^x - 1 \qquad g''(x) = e^x \]2) Convexité :
Comme \(e^x > 0\) pour tout \(x\), on a \(g''(x) > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Donc \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
3) Minimum :
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Puisque \(g\) est convexe, \(g'(x) = 0\) est un minimum global. La valeur minimale est :
\[ g(0) = e^0 - 1 - 0 = 0 \]4) Conclusion :
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(g(x) \geq g(0) = 0\), c'est-à-dire :
\[ e^x - 1 - x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \boxed{e^x \geq 1 + x} \]L'égalité n'a lieu qu'en \(x = 0\).
Soit \(f(x) = (x^2+1)e^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \(f'(x)\). Dresser le tableau de variations.
- Calculer \(f''(x)\).
- Étudier la convexité et trouver les points d'inflexion.
1) Calcul de \(f'(x)\) :
Règle du produit avec \(u = x^2+1\) et \(v = e^{-x}\) :
\[ f'(x) = 2x\,e^{-x} + (x^2+1)(-1)e^{-x} = e^{-x}\bigl(2x - x^2 - 1\bigr) = e^{-x}(-x^2+2x-1) \] \[ f'(x) = -e^{-x}(x^2-2x+1) = -e^{-x}(x-1)^2 \]Comme \(e^{-x} > 0\) et \((x-1)^2 \geq 0\), on a \(f'(x) \leq 0\) pour tout \(x\). Donc \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
\(f'(x) = 0\) en \(x = 1\) : la courbe admet une tangente horizontale en \(\bigl(1\,;\,2e^{-1}\bigr)\) mais pas d'extremum.
2) Calcul de \(f''(x)\) :
On dérive \(f'(x) = -e^{-x}(x-1)^2\) par la règle du produit :
\[ f''(x) = e^{-x}(x-1)^2 + (-e^{-x})\cdot 2(x-1) = e^{-x}\bigl((x-1)^2 - 2(x-1)\bigr) \] \[ f''(x) = e^{-x}(x-1)(x-1-2) = e^{-x}(x-1)(x-3) \]3) Signe de \(f''(x)\) et points d'inflexion :
\(f''(x) = 0\) pour \(x = 1\) et \(x = 3\). Tableau des signes :
- \(x < 1\) : \((x-1) < 0\) et \((x-3) < 0\), donc \(f''(x) > 0\) → convexe
- \(1 < x < 3\) : \((x-1) > 0\) et \((x-3) < 0\), donc \(f''(x) < 0\) → concave
- \(x > 3\) : \((x-1) > 0\) et \((x-3) > 0\), donc \(f''(x) > 0\) → convexe
Les points d'inflexion sont :
- \(x = 1\) : \(f(1) = 2e^{-1} = \tfrac{2}{e}\). Point : \(\bigl(1\,;\,\tfrac{2}{e}\bigr)\).
- \(x = 3\) : \(f(3) = 10e^{-3} = \tfrac{10}{e^3}\). Point : \(\bigl(3\,;\,\tfrac{10}{e^3}\bigr)\).
🔧 Fiches méthodes
Méthodes à maîtriser pour ce chapitre.
\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Racines : \(x=\pm1\).
Tableau de variations :
\(f(-1)=4\) (maximum local), \(f(1)=0\) (minimum local).
\(f''(x)=6x\). Convexe sur \(]0;+\infty[\), concave sur \(]-\infty;0[\). Point d'inflexion : \(I(0,2)\).
Un point d'inflexion n'est pas forcément un extremum. Vérifier que \(f''\) change bien de signe (et pas seulement s'annule).
📌 Fiche de synthèse
Dérivée d'une composée
Si \(f(x) = v(u(x))\), alors \(f'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x))\).
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(e^{u(x)}\) | \(u'(x)\,e^{u(x)}\) |
| \(\sqrt{u(x)}\) | \(\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\) |
| \([u(x)]^n\) | \(n\,u'(x)\,[u(x)]^{n-1}\) |
Convexité — résumé
- \(f'' \geq 0\) sur \(I\) \(\Longleftrightarrow\) \(f\) convexe sur \(I\) \(\Longleftrightarrow\) courbe au-dessus des tangentes.
- \(f'' \leq 0\) sur \(I\) \(\Longleftrightarrow\) \(f\) concave sur \(I\) \(\Longleftrightarrow\) courbe en dessous des tangentes.
- Point d'inflexion en \(a\) : \(f''(a) = 0\) et \(f''\) change de signe en \(a\).
Inégalité à retenir
\[ \forall x \in \mathbb{R},\quad e^x \geq 1 + x \]Conséquence directe de la convexité de \(x \mapsto e^x\).
📐 Démonstrations exigibles
Ces démonstrations sont exigibles au baccalauréat — Terminale Spécialité Mathématiques.
Courbe au-dessus de ses tangentes si \(f'' \geq 0\)
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(I\) avec \(f'' \geq 0\) sur \(I\). Alors pour tout \(a \in I\) et tout \(x \in I\) :
\[f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)\](la courbe est au-dessus de sa tangente en tout point \(a\)).
Posons \(g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)\) pour \(x \in I\). On calcule :
- \(g(a) = 0\)
- \(g'(x) = f'(x) - f'(a)\)
- \(g''(x) = f''(x) \geq 0\), donc \(g'\) est croissante sur \(I\).
Ainsi :
- Pour \(x < a\) : \(g'(x) \leq g'(a) = 0\), donc \(g\) est décroissante sur \((-\infty, a] \cap I\), d'où \(g(x) \geq g(a) = 0\).
- Pour \(x > a\) : \(g'(x) \geq g'(a) = 0\), donc \(g\) est croissante sur \([a, +\infty) \cap I\), d'où \(g(x) \geq g(a) = 0\).
Dans les deux cas, \(g(x) \geq 0\), c'est-à-dire \(f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)\). \(\square\)