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Terminale · Spécialité maths · Dérivation et convexité
Étudier la convexité pas à pas
Quatre études résolues en animation : on calcule \(f'\) puis \(f''\), on étudie le signe de \(f''\), et la figure se construit au fur et à mesure.
f″ ≥ 0 : f convexe
f″ ≤ 0 : f concave
tangente
point d'inflexion
Méthode
- Calculer \(f'(x)\), puis \(f''(x)\) en dérivant \(f'\). Factoriser \(f''(x)\) autant que possible.
- Étudier le signe de \(f''(x)\) : une exponentielle est toujours strictement positive, elle ne change pas le signe.
- \(f''\geq0\) : \(f\) convexe, courbe au-dessus de ses tangentes. \(f''\le0\) : \(f\) concave, courbe en dessous.
- Là où \(f''\) s'annule en changeant de signe, la courbe a un point d'inflexion : elle y traverse sa tangente.