← Retour au chapitre « Dérivation et convexité »
Terminale · Spécialité maths · Dérivation et convexité
Tangente et convexité en animation
Faites glisser le point le long de la courbe. Là où \(f\) est convexe, la courbe est au-dessus de sa tangente ; là où elle est concave, elle est en dessous. Au point d'inflexion, elle traverse sa tangente.
f convexe (f″ ≥ 0)
f concave (f″ ≤ 0)
tangente
point d'inflexion
La fonction
- En haut : la courbe de \(f\) et sa tangente au point de contact.
- En bas : la courbe de \(f'\). Elle est croissante exactement là où \(f\) est convexe, car \(f''=(f')'\).
- Aux points d'inflexion, \(f''\) change de signe : \(f'\) passe par un extremum.
À retenir
- \(f\) est convexe sur \(I\) si \(f''\geq0\) sur \(I\) (autrement dit, \(f'\) est croissante sur \(I\)) ; concave si \(f''\le0\).
- Si \(f\) est convexe sur \(I\), sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes sur \(I\). Si elle est concave, elle est en dessous.
- Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : \(f''\) s'y annule en changeant de signe.