Chapitre 9 Seconde — Probabilités conditionnelles et simulations
📋 Sommaire
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Expérience aléatoire, univers, issues, événement.
- Calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité.
- Utiliser la formule du complémentaire \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
- Calculer \(P(A \cup B)\) et \(P(A \cap B)\).
- Comprendre et calculer une probabilité conditionnelle \(P_A(B)\).
- Construire et exploiter un arbre pondéré ou un tableau en lien avec une situation donnée.
- Distinguer \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\), notamment dans des situations de type tests ou faux positifs.
- Simuler une expérience aléatoire et estimer des probabilités par la fréquence.
- Observer la loi des grands nombres (version vulgarisée) : « lorsque \(n\) est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité ».
- Comprendre la notion de fluctuation d'échantillonnage.
Algorithmique — Programme officiel (BO)
- Simuler des expériences aléatoires avec Python.
- Estimer une probabilité par simulation.
1. Introduction
Les probabilités permettent de quantifier l'incertitude. Dès lors qu'une expérience a plusieurs résultats possibles sans qu'on puisse prédire lequel se réalisera, on est dans un cadre probabiliste. Les probabilités sont utilisées en sciences, en médecine, en économie et dans tous les jeux de hasard.
2. Cours
A — Vocabulaire
Une expérience est aléatoire lorsqu'on ne peut pas prévoir avec certitude son résultat. L'ensemble des résultats possibles est l'univers \(\Omega\).
Un événement est une partie de l'univers \(\Omega\). Il est réalisé si le résultat appartient à cet événement. L'événement contraire de \(A\) est \(\bar{A}\).
Univers : \(\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}\). Événement "nombre pair" : \(A = \{2;4;6\}\).
B — Calcul de probabilités
Si toutes les issues sont équiprobables : \(P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}\).
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
C — Probabilités conditionnelles
Si \(A\) est un événement de probabilité non nulle, \(P_A(B)\) désigne la probabilité de \(B\) sachant que \(A\) est réalisé. Dans une population équiprobable : \(P_A(B)=\frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}\).
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ses branches. Les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à 1.
1. Les branches partant d'un même nœud ont une somme de probabilités égale à 1. 2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. 3. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.
D — Exemple : un test de dépistage
Une maladie touche 2 % d'une population : \(P(M)=0{,}02\). Un test est positif (\(T\)) chez 95 % des malades et chez 4 % des non-malades. On traduit l'énoncé par un arbre pondéré.
3. Python — Simulations
from random import randint
n = 10000
compteur = 0
for k in range(n):
de = randint(1, 6)
if de % 2 == 0: # nombre pair
compteur += 1
frequence = compteur / n
print(f"Fréquence de pair : {frequence:.4f}")
print(f"Probabilité théorique : 0.5")4. Exercices progressifs
Calculer la probabilité d'obtenir : 1. le 6 ; 2. un nombre pair ; 3. un nombre \(> 4\) ; 4. ne pas obtenir 1.
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. 1. Probabilité d'obtenir un roi. 2. Probabilité d'obtenir un cœur. 3. Probabilité de ne pas obtenir un roi.
Dans une classe de 30 élèves, 18 font anglais, 12 font espagnol et 7 font les deux. On choisit un élève au hasard. Calculer \(P_{\text{anglais}}(\text{espagnol})\) puis \(P_{\text{espagnol}}(\text{anglais})\). Comparer.
Un test est positif chez 95 % des personnes malades et chez 4 % des personnes non malades. Traduire ces informations sur un arbre pondéré en distinguant bien les probabilités conditionnelles.
5. Fiche de synthèse
\(P(A) = \frac{\text{issues favorables}}{\text{issues totales}}\).
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
\(P_A(B)\) signifie : probabilité de \(B\) sachant \(A\). Dans un tableau d'effectifs équiprobable : \(\frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}\).
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches.
Lorsque \(n\) est grand, la fréquence observée d'un événement est, sauf exception, proche de sa probabilité.