Chapitre 7 Seconde — Fonctions affines, équations et signe
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Reconnaître et utiliser une fonction affine \(f(x) = ax + b\) ; fonction linéaire (\(b=0\)).
- Interpréter géométriquement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
- Résoudre une équation du premier degré.
- Étudier le signe d'une expression affine et résoudre une inéquation du premier degré.
- Dresser le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient de facteurs affines ; résoudre une inéquation produit ou quotient.
- Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux points.
- Modéliser un problème par une équation ou une inéquation du premier degré et le résoudre.
1. Introduction
Les fonctions affines sont les fonctions les plus simples après les constantes. Leur représentation graphique est une droite. Elles servent à modéliser de nombreuses situations linéaires : tarifs, conversions, évolutions constantes. Maîtriser les équations du premier degré est un pré-requis pour toute la suite du lycée.
2. Cours
A — Fonctions affines
Une fonction affine s'écrit \(f(x) = ax + b\) où \(a\) est le coefficient directeur et \(b\) l'ordonnée à l'origine. Si \(b = 0\), la fonction est linéaire.
Si \(a > 0\) : \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). Si \(a < 0\) : \(f\) est décroissante. Si \(a = 0\) : \(f\) est constante.
Calculer deux images, placer les deux points correspondants, tracer la droite passant par ces points.
Si \(f(x_1) = y_1\) et \(f(x_2) = y_2\) avec \(x_1 \neq x_2\) : \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
B — Équations et signe
On isole \(x\) : \(ax = -b\) puis \(x = -\frac{b}{a}\) (avec \(a \neq 0\)).
\(ax + b\) s'annule en \(x_0 = -\frac{b}{a}\). Si \(a > 0\) : négatif avant \(x_0\), positif après. Si \(a < 0\) : positif avant \(x_0\), négatif après.
Racine : \(x_0 = 3\). Comme \(a = 2 > 0\) : \(2x - 6 < 0\) sur \(]{-}\infty ; 3[\) et \(2x - 6 > 0\) sur \(]3 ; {+}\infty[\).
C — Tableau de signes d'un produit ou d'un quotient
1. Déterminer la valeur qui annule chaque facteur affine. 2. Étudier le signe de chaque facteur (selon le signe de son coefficient directeur). 3. Appliquer la règle des signes, ligne par ligne, pour obtenir le signe du produit ou du quotient.
Les facteurs s'annulent en \(x=3\) et \(x=-1\). Le produit est positif sur \(]{-}\infty;-1[\), négatif sur \(]{-}1;3[\), positif sur \(]3;{+}\infty[\). Donc \((2x-6)(x+1) > 0\) sur \(]{-}\infty;-1[ \cup ]3;{+}\infty[\).
3. Exercices progressifs
On considère \(f(x) = -2x + 6\).
1. Calculer \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(5)\).
2. La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
3. Résoudre \(f(x) = 0\).
4. Étudier le signe de \(f(x)\).
Trouver \(f(x) = ax + b\) telle que \(f(1) = 4\) et \(f(3) = 10\).
Résoudre \(3x - 9 \leq 0\) puis \(-2x + 4 > 0\).
4. Fiche de synthèse
\(f(x) = ax + b\). Courbe : droite. Croissante si \(a > 0\), décroissante si \(a < 0\).
\(ax + b = 0 \Rightarrow x = -b/a\).
\(ax+b\) s'annule en \(x_0 = -b/a\). Le signe suit le signe de \(a\) après \(x_0\).
Pour un produit ou un quotient de facteurs affines : étudier le signe de chaque facteur, puis appliquer la règle des signes ; exclure les valeurs qui annulent un dénominateur.