Chapitre 10 Seconde — Fonctions de référence
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Connaître et utiliser les fonctions valeur absolue \(x \mapsto |x|\), carré \(x \mapsto x^2\), inverse \(x \mapsto \frac{1}{x}\), racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\) et cube \(x \mapsto x^3\) : définitions et courbes représentatives.
- Connaître leurs domaines de définition et leurs tableaux de variations.
- Étudier le signe et les variations des fonctions valeur absolue et carré.
- Comparer des images en utilisant les variations.
- Résoudre graphiquement ou algébriquement des équations et inéquations du type \(f(x) = k\) ou \(f(x) < k\).
1. Introduction
Ces quatre fonctions sont les briques de base à partir desquelles on construit la plupart des fonctions du lycée. En connaître les propriétés permet de résoudre rapidement des équations, de comparer des valeurs et de lire les variations sans calcul.
2. Cours
A — Fonction carré
Définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2\). Décroissante sur \(]{-}\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; {+}\infty[\). Minimum 0 en \(x = 0\).
B — Fonction inverse
Définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) par \(f(x) = \frac{1}{x}\). Décroissante sur \(]{-}\infty ; 0[\) et sur \(]0 ; {+}\infty[\) (deux branches distinctes).
C — Fonction racine carrée
Définie sur \([0 ; {+}\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{x}\). Croissante sur \([0 ; {+}\infty[\).
Comme \(9 < 16\) et que \(x \mapsto \sqrt{x}\) est croissante : \(\sqrt{9} < \sqrt{16}\), donc \(3 < 4\).
D — Fonction cube
Définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3\). Croissante sur \(\mathbb{R}\).
E — Fonction valeur absolue
Définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = |x|\), avec \(|x| = x\) si \(x \geq 0\) et \(|x| = -x\) si \(x < 0\). Décroissante sur \(]{-}\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; {+}\infty[\), minimum 0 en \(x = 0\). Sa courbe est en forme de « V » symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On obtient \(x = 3\) ou \(x = -3\) : ce sont les nombres à distance 3 de 0.
F — Utiliser les variations pour comparer
1. Repérer l'intervalle où se trouvent les deux valeurs. 2. Utiliser le sens de variation de \(f\) sur cet intervalle. 3. Conclure sur l'ordre des images.
3. Exercices progressifs
1. Calculer \(f(-3)\), \(f(0)\) et \(f(4)\) avec \(f(x) = x^2\).
2. Résoudre \(x^2 = 9\).
3. Comparer \((-4)^2\) et \((-2)^2\).
Calculer : \((-3)^2,\ 5^2,\ \frac{1}{-2},\ \sqrt{49},\ (-2)^3\).
Comparer en justifiant : \(2^2\) et \(5^2\) ; \((-6)^2\) et \((-1)^2\) ; \(\sqrt{3}\) et \(\sqrt{7}\).
4. Fiche de synthèse
\(x \mapsto |x|\) — courbe en « V », décroissante sur \(]{-}\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; {+}\infty[\).
\(x \mapsto x^2\) — décroissante sur \(]{-}\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; {+}\infty[\).
\(x \mapsto \frac{1}{x}\) — définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), décroissante sur chaque branche.
\(x \mapsto \sqrt{x}\) — définie et croissante sur \([0 ; {+}\infty[\).
\(x \mapsto x^3\) — croissante sur \(\mathbb{R}\).