Chapitre 1 Seconde — Nombres réels, calculs et automatismes
📋 Sommaire
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Utiliser les notions de multiple, diviseur, nombre pair et nombre impair ; présenter une fraction sous forme irréductible.
- Connaître les ensembles \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) et leurs inclusions.
- Utiliser les notations d'intervalles ; encadrer un réel à une précision donnée.
- Calculer avec des fractions : addition, soustraction, multiplication, division.
- Utiliser les règles de calcul sur les puissances à exposant entier.
- Simplifier des racines carrées.
- Développer, réduire, factoriser des expressions littérales ; choisir une forme adaptée pour résoudre un problème.
- Comprendre la valeur absolue comme distance et résoudre des inéquations du type \(|x-a| \leq r\).
- Comparer deux nombres par leur différence, ou par leur quotient s'ils sont strictement positifs.
- Ajouter des inégalités membre à membre ; multiplier une inégalité par un réel positif ou négatif (en changeant le sens dans ce dernier cas).
- Résoudre des équations et inéquations simples : premier degré, \(x^2=a\), produit nul, quotient.
Démonstrations et méthodes — Programme officiel (BO)
- Montrer que la somme de deux multiples d'un entier \(a\) est encore un multiple de \(a\).
- Montrer que le carré d'un nombre impair est impair.
- Démontrer, pour \(a,b \geq 0\), que \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\).
Algorithmique — Programme officiel (BO)
- Tester si un entier est multiple d'un autre.
- Déterminer par balayage un encadrement décimal de \(\sqrt2\).
- Chercher la première puissance d'un nombre positif dépassant un seuil.
1. Introduction
Ce chapitre consolide les outils de calcul indispensables pour toute l'année de Seconde. Les ensembles de nombres, les opérations sur les fractions et les racines carrées, le calcul littéral et les identités remarquables sont des automatismes que vous devez maîtriser pour aborder sereinement les chapitres suivants.
2. Cours
A — Arithmétique
Pour deux entiers \(a\) et \(b\) avec \(b \neq 0\), on dit que \(a\) est un multiple de \(b\) s'il existe un entier \(k\) tel que \(a = kb\). On dit alors que \(b\) divise \(a\).
Un entier pair s'écrit \(2k\). Un entier impair s'écrit \(2k+1\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).
On divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun. Exemple : \(\frac{84}{126}=\frac{2}{3}\).
B — Ensembles de nombres
On a les inclusions : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Un nombre irrationnel est un réel non rationnel : \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(\sqrt{3}\) sont irrationnels.
Un intervalle est une partie de \(\mathbb{R}\) définie par des bornes : \([a;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}\). Les crochets \([\ ]\) indiquent des bornes incluses, les parenthèses ou crochets inversés \(]\ [\) des bornes exclues.
La valeur absolue \(|x|\) est la distance de \(x\) à 0. Pour tous réels \(a, b\) : la distance entre \(a\) et \(b\) est \(|a - b|\).
C — Fractions
Addition/soustraction : mettre au même dénominateur. Multiplication : \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\). Division : \(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\).
On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Exemple : \(\frac{42}{56} = \frac{42 \div 14}{56 \div 14} = \frac{3}{4}\).
D — Puissances
Pour \(a \neq 0\) et \(m, n\) entiers : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \((ab)^n = a^n b^n\), \(a^0 = 1\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
E — Racines carrées
Pour \(a \geq 0\), \(\sqrt{a}\) est le réel positif dont le carré vaut \(a\).
Pour \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\) : \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\). Pour \(b > 0\) : \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
On cherche un carré parfait : \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\).
F — Calcul littéral, équations et inéquations
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) — \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) — \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
1. Chercher un facteur commun. 2. Reconnaître une identité remarquable. Exemple : \(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\).
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Pour une équation quotient \(\frac{A(x)}{B(x)}=k\), il faut d'abord exclure les valeurs qui annulent \(B(x)\).
\(|x-a| \leq r\) signifie que la distance entre \(x\) et \(a\) est au plus \(r\). L'ensemble des solutions est \([a-r ; a+r]\).
3. Python — Algorithmes (boucle while)
while répète des instructions tant qu'une condition reste vraie : on ne connaît pas à l'avance le nombre de répétitions.# Boucle non bornee : on avance par pas de 0.001
x = 1
pas = 0.001
while x * x <= 2:
x = x + pas
# x est la premiere valeur dont le carre depasse 2
print(round(x - pas, 3), "< racine de 2 <", round(x, 3))# Boucle non bornee : on multiplie tant que p reste sous le seuil
seuil = 1000
p = 1
n = 0
while p <= seuil:
p = p * 2
n = n + 1
print("2 puissance", n, "vaut", p, "et depasse", seuil)4. Exercices progressifs
Indiquer le plus petit ensemble usuel auquel appartient chaque nombre : \(12,\ -5,\ 3{,}75,\ \frac{4}{7},\ \sqrt{5},\ \pi,\ -0{,}2\).
1. Déterminer si 312 est multiple de 12. 2. Écrire \(84/126\) sous forme irréductible. 3. Montrer que le carré de \(2n+1\) est impair.
Calculer et simplifier : \(A = \frac{3}{5} + \frac{7}{10}\), \(B = \frac{4}{3} - \frac{5}{6}\), \(C = \frac{8}{15} \times \frac{5}{2}\), \(D = \frac{7}{9} \div \frac{14}{3}\).
Simplifier : \(\sqrt{50},\ \sqrt{75},\ \sqrt{27},\ \sqrt{200}\).
Développer et réduire : \(A = 5(x-4)\), \(B = -3(2x+7)\), \(C = (x+2)(x+9)\).
Factoriser : \(D = 4x+20\), \(E = x^2-81\), \(F = x^2+12x+36\).
Résoudre : \(x^2=25\), \((x-3)(2x+1)=0\), \(|x-4|\leq 2\).
5. Fiche de synthèse
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
Multiple : \(a=kb\). Pair : \(2k\). Impair : \(2k+1\).
Même dénominateur pour additionner ; multiplier par l'inverse pour diviser.
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\).
\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) et \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\(|x-a| \leq r\) décrit l'intervalle \([a-r ; a+r]\).