Chapitre 9 Première — Probabilités conditionnelles et indépendance
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Définir et calculer une probabilité conditionnelle.
- Utiliser les arbres pondérés.
- Appliquer la formule des probabilités totales.
- Définir et reconnaître l'indépendance de deux événements.
1. Introduction
La probabilité conditionnelle mesure la probabilité d'un événement sachant qu'un autre s'est réalisé. Elle est au cœur du raisonnement en statistiques, en médecine (tests de dépistage) et en économie.
2. Cours
Si \(P(B) > 0\), la probabilité de \(A\) sachant \(B\) est : \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\).
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
Si \((B_1, \ldots, B_n)\) est une partition de l'univers : \(P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) \cdot P(B_i)\).
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\), ce qui équivaut à \(P(A|B) = P(A)\).
1. Tracer l'arbre avec les issues à chaque branche.
2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités sur ses branches.
3. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins y aboutissant.
3. Exercices progressifs
Dans une classe, 60 % des élèves jouent d'un instrument. Parmi eux, 40 % jouent de la guitare. Quelle est la probabilité qu'un élève joue de la guitare ?
Une urne contient 3 rouges et 5 bleues. On tire deux boules successivement sans remise. Construire l'arbre et calculer la probabilité d'avoir deux boules de couleurs différentes.
Un test de dépistage est positif pour 95 % des malades et 2 % des non-malades. La prévalence est 1 %. Calculer la probabilité qu'un test soit positif.
\(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). A et B sont-ils indépendants ?
4. Fiche de synthèse
\(P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)\).
\(P(A) = \sum_i P(A|B_i)P(B_i)\).
\(P(A \cap B) = P(A)P(B)\).