Chapitre 7 Première — Produit scalaire dans le plan
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Définir et calculer le produit scalaire (par les coordonnées, la norme, l'angle).
- Caractériser l'orthogonalité de deux vecteurs.
- Appliquer le théorème d'Al-Kashi.
- Calculer des longueurs et des angles dans un triangle.
1. Introduction
Le produit scalaire est un outil puissant pour calculer des angles, des longueurs et résoudre des problèmes géométriques sans repère. Il unifie les formules de trigonométrie et de géométrie plane.
2. Cours
Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) d'angle \(\theta\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\).
Si \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'.\)
\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
Dans un triangle \(ABC\) : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\hat{A})\).
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos\hat{A}\]
Utiliser \(\cos\hat{A} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}\) puis la fonction arccos.
3. Exercices progressifs
Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) pour \(\vec{u}(3;-1)\) et \(\vec{v}(2;5)\). Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
Dans un triangle \(ABC\), \(AB = 5\), \(AC = 7\), \(BC = 8\). Calculer le cosinus de \(\hat{A}\) par Al-Kashi.
Montrer que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires à l'aide du produit scalaire.
Dans le triangle \(ABC\) avec \(A(1;2)\), \(B(4;-1)\), \(C(5;3)\), trouver l'équation de la hauteur issue de \(A\).
4. Fiche de synthèse
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}\).
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\).