Chapitre 4 Première — Dérivation — Applications aux variations
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Calculer la dérivée d'un produit, d'un quotient et d'une composée.
- Utiliser le signe de la dérivée pour étudier les variations.
- Trouver les extremums d'une fonction.
- Résoudre des problèmes d'optimisation.
1. Introduction
Ce chapitre exploite la dérivée comme outil pour étudier les variations des fonctions et résoudre des problèmes d'optimisation. On étend aussi les règles de dérivation au produit, au quotient et à la composée.
2. Cours
\((uv)' = u'v + uv'.
\(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) (avec \(v \neq 0\)).
Si \(h(x) = f(g(x))\), alors \(h'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))\).
Cas particulier : \((u^n)' = n u^{n-1} u'.\)
Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, \(f\) est croissante.
Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, \(f\) est décroissante.
Si \(f'(a) = 0\) et la dérivée change de signe en \(a\), alors \(f\) a un extremum en \(a\).
1. Calculer \(f'(x)\).
2. Résoudre \(f'(x) = 0\) et étudier le signe.
3. En déduire les variations de \(f\) et les extremums.
4. Calculer les valeurs remarquables de \(f\).
3. Exercices progressifs
Calculer la dérivée de \(f(x) = (3x-1)(x^2+2)\) de deux façons : par la règle du produit et en développant d'abord.
Calculer la dérivée de \(g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3}\) et préciser son domaine de dérivabilité.
Étudier les variations de \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\) sur \(\mathbb{R}\) et dresser le tableau de variations.
Un rectangle a un périmètre de 20 cm. Pour quelle valeur de la longueur l'aire est-elle maximale ? Justifier avec la dérivée.
4. Fiche de synthèse
\((uv)' = u'v + uv'.
\((u/v)' = (u'v - uv')/v^2\).
\(f' > 0 \Rightarrow f\) croissante ; \(f' < 0 \Rightarrow f\) décroissante.
\(f'(a)=0\) et changement de signe de \(f'.\)