Chapitre 3 Première — Dérivation — Nombre dérivé et tangente
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Définir le nombre dérivé d'une fonction en un point comme limite du taux de variation.
- Calculer la dérivée des fonctions usuelles : \(x^n\), \(\sqrt{x}\), \(1/x\).
- Écrire l'équation de la tangente à une courbe en un point.
1. Introduction
La dérivation permet de mesurer la vitesse de variation d'une fonction. Le nombre dérivé en un point est la pente de la tangente à la courbe. C'est un outil fondamental pour étudier les variations et les extremums des fonctions.
2. Cours
Pour une fonction \(f\) et un point \(a\), le taux de variation entre \(a\) et \(a+h\) est : \(\tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\).
Si la limite \(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) existe et est finie, on l'appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\).
La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]
Pour \(n \geq 1\) entier : \((x^n)' = nx^{n-1}\).
\((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) (pour \(x > 0\)).
\(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\) (pour \(x \neq 0\)).
\((\text{constante})' = 0\).
Pour tous réels \(\lambda, \mu\) : \((\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'.\)
On dérive terme à terme en utilisant \((x^n)' = nx^{n-1}\).
Exemple : si \(f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7\), alors \(f'(x) = 12x^3 - 10x + 2\).
3. Exercices progressifs
Pour \(f(x) = x^2 - 3x\), calculer le taux de variation entre \(x = 2\) et \(x = 2 + h\). En déduire \(f'(2)\).
Calculer la dérivée de : a) \(f(x) = 4x^3 - 2x + 5\), b) \(g(x) = \frac{3}{\sqrt{x}}\), c) \(h(x) = x^5 - \frac{2}{x}\).
Écrire l'équation de la tangente à \(f(x) = x^3 - x\) au point d'abscisse \(x = 1\).
Trouver le(s) point(s) de la courbe de \(f(x) = x^3 - 3x^2\) où la tangente est parallèle à la droite d'équation \(y = 9x - 1\).
4. Fiche de synthèse
\(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
\(y = f'(a)(x-a)+f(a)\).
\((x^n)' = nx^{n-1}\), \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), \((1/x)' = -1/x^2\).