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Terminale · Spécialité maths · Loi des grands nombres
Loi des grands nombres
Répétez une expérience et suivez la moyenne \(M_n\) des résultats : elle se rapproche de l'espérance \(\mu\). Puis simulez de nombreux échantillons pour comparer la proportion d'écarts \(|M_n-\mu|\geq a\) à la majoration \(\dfrac{V(X)}{na^{2}}\) de l'inégalité de concentration.
À retenir
- Pour des variables \(X_1,\dots,X_n\) indépendantes, de même loi que \(X\), et de variance finie, \(M_n=\dfrac{X_1+\dots+X_n}{n}\) vérifie \(E(M_n)=E(X)\) et \(V(M_n)=\dfrac{V(X)}{n}\).
- Inégalité de concentration : \(P\bigl(|M_n-E(X)|\geq a\bigr)\leq\dfrac{V(X)}{na^{2}}\).
- Loi faible des grands nombres : pour tout \(a>0\), \(P\bigl(|M_n-E(X)|\geq a\bigr)\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
- Sous les hypothèses précédentes et pour \(a>0\), la majoration ne dépend pas de la forme de la loi ; elle est souvent plus grande que la probabilité réelle. Une probabilité est aussi toujours majorée par 1.