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Terminale · Spécialité maths · Calcul intégral
Intégrale, aire et valeur moyenne
Pour \(a<b\) et \(f\geq0\), l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) représente l'aire sous la courbe. Si \(f\) change de signe, les contributions situées sous l'axe sont négatives : l'intégrale est une aire algébrique. Comparez les approximations, puis la valeur moyenne.
À retenir
- Si \(F\) est une primitive de \(f\) : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)\).
- Les sommes de rectangles (ou de trapèzes) de largeur \(h=\dfrac{b-a}{n}\) se rapprochent de l'intégrale quand \(n\) augmente ; si \(f\) est croissante, les rectangles à gauche donnent une valeur par défaut et ceux à droite une valeur par excès.
- La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) est \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\), avec \(a<b\). Le produit \(\mu(b-a)\) est égal à l’intégrale. Une égalité d’aires géométriques s’en déduit lorsque \(f\geq0\).