Chapitre 10 Première — Variables aléatoires discrètes
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Définir une variable aléatoire discrète et sa loi de probabilité.
- Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type.
- Modéliser des situations simples par une variable aléatoire.
1. Introduction
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. L'espérance représente la valeur moyenne à long terme. Ces outils permettent de quantifier l'incertitude et sont indispensables pour la statistique inférentielle.
2. Cours
Une variable aléatoire \(X\) prend un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs \(x_1, x_2, \ldots, x_n\). Sa loi de probabilité est le tableau \(x_i \mapsto P(X = x_i)\).
\(\sum_{i=1}^n P(X = x_i) = 1\).
L'espérance de \(X\) est \(E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\).
La variance est \(V(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2\). L'écart-type est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
\[E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)\]
1. Dresser le tableau de la loi.
2. Vérifier \(\sum p_i = 1\).
3. Calculer \(E(X) = \sum x_i p_i\).
4. Calculer \(E(X^2) = \sum x_i^2 p_i\).
5. \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\).
On lance deux pièces équilibrées. On note \(X\) le nombre de faces obtenues.
Les valeurs possibles sont \(0\), \(1\) et \(2\). Les issues équiprobables sont \(PP\), \(PF\), \(FP\), \(FF\).
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac14\) | \(\frac12\) | \(\frac14\) |
Contrôle : \(\frac14+\frac12+\frac14=1\). C'est bien une loi de probabilité.
Une loterie coûte 3 €. On gagne 12 € avec une probabilité \(0{,}2\), et 0 € sinon. On note \(G\) le gain net du joueur.
Si le joueur gagne, \(G=12-3=9\). S'il perd, \(G=0-3=-3\).
\[ E(G)=9 \times 0{,}2 + (-3) \times 0{,}8 = 1{,}8 - 2{,}4 = -0{,}6. \]
Sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 0,60 € par partie. Le jeu est donc défavorable au joueur.
Une variable aléatoire \(X\) a pour loi :
| \(x_i\) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
\[ E(X)=1\times0{,}2+2\times0{,}5+4\times0{,}3=2{,}4. \]
\[ E(X^2)=1^2\times0{,}2+2^2\times0{,}5+4^2\times0{,}3=7. \]
Donc \(V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=7-2{,}4^2=1{,}24\), puis \(\sigma(X)=\sqrt{1{,}24}\approx1{,}11\).
3. Exercices progressifs
On lance un dé équilibré. Soit \(X\) le résultat. Dresser la loi de \(X\) et vérifier que la somme vaut 1. Calculer \(E(X)\).
Un jeu coûte 2 €. On gagne 10 € avec probabilité 1/5, 0 € sinon. Soit \(G\) le gain net. Calculer \(E(G)\). Le jeu est-il favorable ?
Une variable \(X\) prend les valeurs 1, 2, 3 avec probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
On tire 2 boules dans une urne contenant 4 rouges et 2 bleues (sans remise). Soit \(X\) le nombre de boules rouges. Dresser la loi de \(X\) et calculer \(E(X)\).
4. Fiche de synthèse
\(\sum p_i = 1\).
\(E(X) = \sum x_i p_i\).
\(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\), \(\sigma = \sqrt{V}\).