Chapitre 8 Première — Géométrie repérée — Droites, cercles, paraboles
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Utiliser le vecteur normal pour établir l'équation d'une droite.
- Reconnaître et utiliser l'équation d'un cercle.
- Relier la parabole au trinôme du second degré.
1. Introduction
La géométrie repérée traduit des objets géométriques (droites, cercles, paraboles) en équations algébriques. Ce chapitre renforce le lien entre géométrie et algèbre, fondamental pour la terminale.
2. Cours
La droite de vecteur normal \(\vec{n}(a;b)\) passant par \(A(x_0;y_0)\) a pour équation : \(a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0\), soit \(ax + by + c = 0\).
Le cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(r\) a pour équation : \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).
La courbe de la fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est une parabole d'axe de symétrie \(x = -\frac{b}{2a}\) et de sommet \(S\left(-\frac{b}{2a}; f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\).
Développer \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) donne \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2+b^2-r^2) = 0\). Inversement, compléter les carrés pour retrouver la forme canonique.
3. Exercices progressifs
Écrire l'équation de la droite passant par \(A(2;-1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(3;2)\).
Donner l'équation du cercle de centre \(\Omega(1;-2)\) et de rayon 3. Ce cercle passe-t-il par \(P(4;-2)\) ?
Montrer que \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\) est l'équation d'un cercle. Donner son centre et son rayon.
Donner les coordonnées du sommet et l'axe de symétrie de \(f(x) = 2x^2 - 4x + 1\). Tracer la parabole.
4. Fiche de synthèse
\(ax + by + c = 0\), vecteur normal \((a;b)\), directeur \((-b;a)\).
\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), centre \((a;b)\), rayon \(r\).
Axe \(x = -b/(2a)\), sommet \(S\).