Chapitre 6 Première — Trigonométrie
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Utiliser le radian comme unité de mesure d'angle.
- Placer des points sur le cercle trigonométrique.
- Connaître \(\cos\) et \(\sin\) des angles remarquables.
- Utiliser les formules \(\cos^2 + \sin^2 = 1\) et les formules d'addition.
- Étudier les fonctions \(\cos\) et \(\sin\).
1. Introduction
Le radian généralise la mesure des angles à la droite réelle. Les fonctions sinus et cosinus, périodiques, modélisent tout phénomène oscillatoire. Elles sont indispensables en physique des ondes, en géométrie et en analyse.
2. Cours
Un angle d'un radian correspond à un arc de longueur égale au rayon. On a \(\pi \text{ rad} = 180°\), donc \(1° = \frac{\pi}{180}\) rad.
Le cercle de centre \(O\) et de rayon 1. À tout réel \(x\), on associe le point \(M(\cos x; \sin x)\).
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) pour tout réel \(x\).
Angles principaux : \(0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2\). Mémoriser les valeurs de \(\cos\) et \(\sin\) correspondantes.
\[\cos^2 x + \sin^2 x = 1\]
\(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\).
\(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\).
\(\cos\) est paire, \(\sin\) est impaire ; toutes deux sont \(2\pi\)-périodiques.
3. Exercices progressifs
Convertir en radians : 60°, 135°, 210°. Convertir en degrés : \(\frac{3\pi}{4}\), \(\frac{5\pi}{6}\), \(\frac{7\pi}{3}\).
Sans calculatrice, donner les valeurs exactes de \(\cos(\frac{5\pi}{6})\), \(\sin(\frac{5\pi}{3})\), \(\cos(-\frac{\pi}{4})\).
Sachant que \(\cos x = \frac{3}{5}\) et \(x \in [0; \pi/2]\), calculer \(\sin x\) et \(\tan x\).
Calculer exactement \(\cos(75°)\) en utilisant \(\cos(45°+30°)\).
4. Fiche de synthèse
\(180° = \pi\) rad.
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).
\(\cos\) paire, \(\sin\) impaire, toutes deux \(2\pi\)-périodiques.