Chapitre 5 Première — Fonction exponentielle
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Connaître la définition et les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
- Étudier les variations et la courbe de \(x \mapsto e^x\).
- Utiliser \(e^x\) pour modéliser des évolutions.
1. Introduction
La fonction exponentielle est l'unique solution de \(f' = f\) avec \(f(0) = 1\). Elle est partout en physique, chimie, biologie et finance pour modéliser les phénomènes de croissance ou de décroissance proportionnelle.
2. Cours
Le nombre \(e\) est la limite de \((1 + 1/n)^n\) quand \(n \to +\infty\). On a \(e \approx 2{,}718\).
La fonction \(\exp : x \mapsto e^x\) est définie sur \(\mathbb{R}\), strictement positive, dérivable, et vérifie \(\exp' = \exp\).
\(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\), \(e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}\), \((e^a)^b = e^{ab}\), \(e^0 = 1\), \(e^{-a} = \frac{1}{e^a}\).
La fonction \(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), positive, et tend vers \(+\infty\) quand \(x \to +\infty\), vers 0 quand \(x \to -\infty\).
Règle composée : \((e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}\).
Exemple : \((e^{3x^2})' = 6x \cdot e^{3x^2}\).
3. Exercices progressifs
Simplifier : a) \(e^3 \cdot e^{-5}\), b) \(\frac{e^7}{e^2}\), c) \((e^{-2})^3\), d) \(e^0 + e^1\).
Calculer \(f'(x)\) pour : a) \(f(x) = e^{2x-1}\), b) \(f(x) = x \cdot e^x\), c) \(f(x) = \frac{e^x}{x+1}\).
Étudier les variations de \(f(x) = (x-2)e^x\) sur \(\mathbb{R}\). Dresser le tableau de variations.
Résoudre : a) \(e^{2x} = e^5\), b) \(e^{x^2 - 1} = 1\), c) \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\).
4. Fiche de synthèse
\(e^x > 0\), \((e^x)' = e^x\), strictement croissante.
\(e^{a+b}=e^a e^b\), \(e^{-a}=1/e^a\), \((e^a)^b=e^{ab}\).
\((e^{u})' = u' e^{u}\).