Chapitre 2 Première — Second degré
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Reconnaître et utiliser les différentes formes d'un polynôme du second degré.
- Résoudre une équation du second degré.
- Étudier le signe d'un trinôme.
- Résoudre une inéquation du second degré.
1. Introduction
Le second degré est l'outil central de l'algèbre de Première. Il permet de résoudre des équations quadratiques, d'étudier des paraboles et de raisonner sur les signes d'expressions. On le retrouve partout : physique, économie, optimisation.
2. Cours
Un trinôme du second degré est une expression de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\).
On peut écrire \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\) où \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}\). Le sommet de la parabole est \(S(\alpha, \beta)\).
Le discriminant est \(\Delta = b^2 - 4ac\).
Si \(\Delta > 0\) : deux racines \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).
Si \(\Delta = 0\) : une racine double \(x_0 = -\frac{b}{2a}\).
Si \(\Delta < 0\) : pas de racine réelle.
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Si \(x_1, x_2\) sont les racines : \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) et \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\).
Si \(\Delta > 0\) : \(f(x)\) est du signe de \(a\) sauf entre les racines.
Si \(\Delta \leq 0\) : \(f(x)\) est du signe de \(a\) (ou nul si \(\Delta = 0\) en \(x_0\)).
3. Exercices progressifs
Écrire \(f(x) = 2x^2 - 8x + 3\) sous forme canonique et donner les coordonnées du sommet.
Résoudre : a) \(x^2 - 5x + 6 = 0\), b) \(3x^2 - 6x + 3 = 0\), c) \(x^2 + x + 1 = 0\).
Résoudre \(x^2 - 3x - 4 < 0\). Donner l'ensemble solution.
Sans calculer les racines, trouver la valeur de \(x_1^2 + x_2^2\) pour \(2x^2 - 5x + 1 = 0\).
4. Fiche de synthèse
\(\Delta > 0\) : deux racines. \(\Delta = 0\) : racine double. \(\Delta < 0\) : pas de racine réelle.
\(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\), sommet \(S(\alpha;\beta)\).
Signe de \(a\) sauf entre les racines (si \(\Delta > 0\)).