Chapitre 1 Première — Suites numériques
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Définir une suite par une formule explicite ou par récurrence.
- Calculer les premiers termes d'une suite.
- Reconnaître et utiliser les suites arithmétiques et géométriques.
- Étudier le sens de variation d'une suite.
- Modéliser des situations par des suites.
Démonstrations et méthodes — Programme officiel (BO)
- Montrer qu'une suite arithmétique (resp. géométrique) est strictement croissante ou décroissante.
1. Introduction
Une suite est une liste ordonnée de nombres. Ce chapitre introduit les deux grandes familles : suites arithmétiques (on ajoute toujours le même nombre) et suites géométriques (on multiplie toujours par le même nombre). Ces outils servent à modéliser des remboursements, des placements ou des populations.
2. Cours
Une suite \((u_n)\) est une fonction de \(\mathbb{N}\) (ou d'une partie de \(\mathbb{N}\)) dans \(\mathbb{R}\). On peut la définir par une formule explicite \(u_n = f(n)\) ou par récurrence : \(u_{n+1} = g(u_n)\).
Une suite est arithmétique de raison \(r\) si \(u_{n+1} = u_n + r\) pour tout \(n\). On a alors \(u_n = u_0 + nr\).
La somme des \(n+1\) premiers termes est \(S = (n+1) \cdot \frac{u_0 + u_n}{2}\).
\[u_n = u_0 + n r\]
Une suite est géométrique de raison \(q \neq 0\) si \(u_{n+1} = q \cdot u_n\) pour tout \(n\). On a alors \(u_n = u_0 \cdot q^n\).
Si \(q \neq 1\) : \(S = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\).
\[u_n = u_0 \cdot q^n\]
Pour une suite arithmétique : croissante si \(r > 0\), décroissante si \(r < 0\).
Pour une suite géométrique et \(u_0 > 0\) : croissante si \(q > 1\), décroissante si \(0 < q < 1\).
Pour une suite quelconque, étudier le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
3. Exercices progressifs
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 2u_n - 1\). Calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\).
La suite \((v_n)\) est arithmétique avec \(v_2 = 11\) et \(v_5 = 20\). Trouver la raison, le premier terme \(v_0\) et exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
La suite \((w_n)\) est géométrique avec \(w_0 = 5\) et \(w_3 = 40\). Trouver la raison et calculer \(w_6\).
Un capital de 1000 € est placé à 2,5 % par an. Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) années, puis calculer \(C_{10}\).
4. Fiche de synthèse
\(u_n = u_0 + nr\) — croissante si \(r>0\), décroissante si \(r<0\).
\(u_n = u_0 \cdot q^n\) — somme : \(u_0 \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) si \(q \neq 1\).
Étudier le signe de \(u_{n+1} - u_n\) ou comparer \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1.