Chapitre 12 Seconde — Synthèse annuelle — Fonctions, géométrie, problèmes
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Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Mobiliser tous les outils de calcul numérique et littéral.
- Utiliser les fonctions dans des problèmes : modéliser, calculer, interpréter.
- Utiliser les vecteurs et les coordonnées pour démontrer des propriétés géométriques.
- Interpréter des données statistiques ; utiliser les probabilités dans des situations simples.
- Rédiger une solution complète, justifiée et structurée.
1. Introduction
Ce chapitre de synthèse relie toutes les notions de l'année. Il n'y a pas de notion nouvelle mais un entraînement à mobiliser les bons outils face à un problème ouvert. C'est l'objectif principal des épreuves de mathématiques.
2. Révision par thème
A — Calcul numérique et littéral
À retenir — Identités remarquables
\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\), \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\), \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\).
À retenir — Puissances
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\).
B — Fonctions
À retenir — Images et antécédents
\(f(a) = b\) : \(b\) est l'image de \(a\), \(a\) est un antécédent de \(b\).
Méthode — Résoudre un problème avec une fonction
- Préciser l'intervalle d'étude.
- Calculer les images utiles.
- Utiliser les variations.
- Interpréter le résultat.
C — Géométrie repérée
À retenir — Vecteurs et coordonnées
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}\), \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
D — Statistiques et probabilités
À retenir — Statistiques
Moyenne \(\bar{x}\), médiane, \(Q_1\), \(Q_3\), étendue, écart type \(\sigma\).
À retenir — Probabilités
\(P(A) = \frac{\text{issues favorables}}{\text{issues totales}}\), \(P(\bar{A}) = 1-P(A)\), \(P_A(B)=\frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}\) en situation équiprobable.
3. Exercices de bilan
Exercice 1 — Calculs
\(\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\), \(3^4 \times 3^2\), \(\sqrt{75}\), \((x+5)^2\).
Exercice 2 — Fonctions
Pour \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\), calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(-2)\).
Exercice 3 — Géométrie de synthèse
Dans un repère orthonormé : \(A(1;2)\), \(B(5;3)\), \(C(6;7)\), \(D(2;6)\). 1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\). 2. En déduire la nature de \(ABCD\). 3. Calculer les milieux de \([AC]\) et \([BD]\). 4. Conclure.
Exercice 4 — Statistiques et probabilités
On interroge 40 élèves sur leur moyen de transport : 16 en bus, 8 en voiture, 10 à pied, 6 à vélo. 1. Fréquences. 2. Un élève est choisi au hasard : probabilité qu'il vienne en bus. 3. Probabilité de ne pas venir en voiture.
4. Boîte à outils de Seconde
À retenir — Calcul
Fractions, puissances, racines carrées, identités remarquables.
À retenir — Fonctions
Affines, carré, inverse, racine carrée, cube ; images, antécédents, variations.
À retenir — Géométrie
Vecteurs, coordonnées, milieu, distance, déterminant, colinéarité, droites, intersection.
À retenir — Statistiques et probabilités
Moyenne, médiane, quartiles, écart type, tableaux croisés ; équiprobabilité, complémentaire, probabilités conditionnelles.
À retenir — Pourcentages
Taux d'évolution, coefficient multiplicateur, évolutions successives et réciproque.