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Chapitre — Analyse

Chapitre 4 Seconde — Fonctions — Notion de fonction

📋 Sommaire

  1. Programme officiel (BO)
  2. Introduction
  3. Cours
  4. Python — Algorithmes
  5. Exercices progressifs
  6. Fiche de synthèse
Programme officiel — Seconde générale et technologique 🔗 Source officielle (education.gouv.fr — BO du 2 avril 2026)

Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)

  • Notion de fonction ; images et antécédents.
  • Représenter graphiquement une fonction ; lire images et antécédents graphiquement.
  • Dresser un tableau de valeurs ; identifier croissance et décroissance.
  • Résoudre graphiquement \(f(x) = k\) et \(f(x) \leq k\).
  • Déterminer l'expression d'une fonction à partir de données numériques ou graphiques.

Démonstrations et méthodes — Programme officiel (BO)

  • Reconnaître qu'un minimum/maximum est atteint et le lire sur la courbe.

Algorithmique — Programme officiel (BO)

  • Définir une fonction en Python et calculer des images ; construire un tableau de valeurs.

1. Introduction

Une fonction est une machine qui, à chaque nombre d'entrée, associe un nombre de sortie. Cette notion est au cœur des mathématiques du lycée : toute la physique, l'économie, la biologie utilisent des fonctions pour modéliser des phénomènes.

⚠️ Point de vigilance : Un nombre de départ ne peut avoir qu'une seule image par une même fonction. En revanche, un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

2. Cours

A — Définition

Définition — Fonction

Une fonction \(f\) est un procédé qui, à tout nombre \(x\) d'un ensemble de départ, associe au plus un nombre \(f(x)\). L'image de \(x\) par \(f\) est \(f(x)\). Un antécédent de \(y\) est un \(x\) tel que \(f(x) = y\).

Exemple — Calcul d'image

Si \(f(x) = x^2 - 3x + 1\) alors \(f(2) = 4 - 6 + 1 = -1\).

⚠️ Point de vigilance : Lorsqu'on remplace \(x\) par un nombre négatif, utiliser des parenthèses : \(g(-3) = 2 \times (-3)^2 + 5\).

B — Représentation graphique

Définition — Courbe représentative

Dans un repère, la courbe représentative de \(f\) est l'ensemble des points \((x ; f(x))\).

Méthode — Lire une image graphiquement

On repère \(a\) sur l'axe des abscisses, on monte verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du point obtenu.

Méthode — Lire des antécédents graphiquement

On trace la droite horizontale \(y = k\), puis on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe.

C — Variations

Définition — Fonction croissante / décroissante

Une fonction \(f\) est croissante sur \(I\) si pour tous \(a < b\) dans \(I\), \(f(a) \leq f(b)\). Elle est décroissante sur \(I\) si \(f(a) \geq f(b)\).

⚠️ Point de vigilance : On parcourt toujours la courbe de gauche à droite pour lire les variations.

3. Python — Calculer des images

Méthode — Définir une fonction Python
def f(x):
    return x**2 + 3*x - 10

# Calculer f(2)
print(f(2))

# Tableau de valeurs
for x in range(-3, 4):
    print(f"f({x}) = {f(x)}")

4. Exercices progressifs

Exercice 1 — Images

On considère \(f(x) = 3x - 4\). Calculer \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(-1)\) et \(f(5)\).

Exercice 2 — Image et antécédents

On donne \(f(-2)=4\), \(f(-1)=1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), \(f(2)=4\). Donner l'image de \(-1\) et les antécédents de \(4\).

Exercice 3 — Vrai ou faux
  1. Si \(f(2)=7\), alors \(7\) est l'image de \(2\) par \(f\).
  2. Si \(f(2)=7\), alors \(7\) est un antécédent de \(2\) par \(f\).
  3. Un nombre peut avoir plusieurs images par une même fonction.
  4. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une même fonction.

5. Fiche de synthèse

À retenir — Fonction

Une fonction associe à un nombre de départ au plus un nombre d'arrivée : \(f : x \mapsto f(x)\).

À retenir — Image et antécédent

\(f(a) = b\) signifie que \(b\) est l'image de \(a\) et que \(a\) est un antécédent de \(b\).

À retenir — Résolution graphique

Résoudre \(f(x) = k\) revient à chercher les antécédents de \(k\).