Chapitre 3 Seconde — Statistiques 1 — Organiser et résumer des données
Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Distinguer caractère quantitatif et qualitatif, discret et continu.
- Calculer effectifs, fréquences et pourcentages.
- Représenter des données : diagrammes en bâtons, circulaires, histogrammes.
- Calculer et interpréter la moyenne, la médiane, l'étendue d'une série statistique.
- Calculer les quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\) ; interpréter l'écart interquartile.
- Lire et interpréter un diagramme en boîte.
- Traiter une série regroupée en classes : moyenne pondérée, classe médiane, histogramme.
1. Introduction
Les statistiques permettent de décrire, organiser et résumer des données. Nous étudierons les indicateurs de position (moyenne, médiane) et les indicateurs de dispersion (étendue) pour caractériser une série statistique.
2. Cours
A — Vocabulaire
La population est l'ensemble étudié. Un individu est un élément de la population. Le caractère est l'information étudiée (qualitatif si non numérique, quantitatif sinon).
L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus prenant cette valeur. La fréquence est le rapport de cet effectif à l'effectif total. La somme des fréquences vaut 1 (ou 100 %).
B — Indicateurs de position
La moyenne \(\bar{x}\) est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total. Avec effectifs : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}\).
La médiane est une valeur qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif.
On range les valeurs en ordre croissant. Si l'effectif \(N\) est impair, la médiane est la valeur de rang \(\frac{N+1}{2}\). Si \(N\) est pair, on peut prendre la moyenne des deux valeurs centrales (rangs \(\frac{N}{2}\) et \(\frac{N}{2}+1\)).
C — Indicateurs de dispersion
L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
Le premier quartile \(Q_1\) est une valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales. Le troisième quartile \(Q_3\) est une valeur telle qu'au moins 75 % des valeurs lui sont inférieures ou égales. L'écart interquartile est \(Q_3 - Q_1\).
D — Séries regroupées en classes
Pour une variable quantitative continue, on peut regrouper les valeurs dans des intervalles appelés classes. Une classe possède une amplitude et un centre.
Lorsque les données sont regroupées en classes, on utilise le centre de chaque classe comme valeur représentative, puis on calcule une moyenne pondérée par les effectifs.
On calcule les effectifs cumulés croissants. La classe médiane est celle qui contient le rang médian.
3. Exercices progressifs
On interroge 30 élèves sur leur moyen de transport : 12 en bus, 6 en voiture, 4 à vélo, 8 à pied. Calculer les fréquences et les exprimer en pourcentage.
Pour la série \(4, 7, 9, 12, 15, 18, 20\), calculer la moyenne, déterminer une médiane et calculer l'étendue.
Pour la série ordonnée \(3, 5, 7, 8, 11, 13, 15, 16, 18, 20\), déterminer \(Q_1\), la médiane et \(Q_3\), puis calculer l'écart interquartile.
Une série de tailles est regroupée ainsi : \([150;160[\) : 4 élèves, \([160;170[\) : 12 élèves, \([170;180[\) : 9 élèves, \([180;190[\) : 5 élèves. Estimer la moyenne et déterminer la classe médiane.
4. Fiche de synthèse
fréquence = effectif / effectif total.
\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}\).
valeur maximale − valeur minimale.
\(Q_1\) : au moins 25 % en dessous ; \(Q_3\) : au moins 75 % en dessous. Écart interquartile : \(Q_3 - Q_1\).
Pour une moyenne estimée, on remplace chaque classe par son centre et on pondère par les effectifs.