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Chapitre — Analyse

Chapitre 2 Seconde — Vecteurs 1 — Translation et égalité de vecteurs

📋 Sommaire

  1. Programme officiel (BO)
  2. Introduction
  3. Cours
  4. Exercices progressifs
  5. Fiche de synthèse
Programme officiel — Seconde générale et technologique 🔗 Source officielle (education.gouv.fr — BO du 2 avril 2026)

Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)

  • Représenter un vecteur par une flèche et connaître son sens, sa direction et sa norme.
  • Utiliser la relation de Chasles.
  • Additionner des vecteurs géométriquement (règle du parallélogramme et méthode de la chaîne).
  • Multiplier un vecteur par un réel.
  • Caractériser la colinéarité de deux vecteurs.
  • Utiliser les vecteurs pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

1. Introduction

Les vecteurs sont des objets mathématiques qui modélisent les déplacements. Ce premier chapitre introduit les vecteurs à travers la notion de translation, sans faire appel aux coordonnées. L'objectif est de construire une intuition géométrique solide avant d'aborder le calcul vectoriel dans le repère.

2. Cours

A — Translation

Définition — Translation

Une translation est un déplacement qui fait glisser toute figure dans la même direction, le même sens et la même distance, sans rotation ni déformation.

Définition — Vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) décrit le déplacement du point \(A\) vers le point \(B\). Il est caractérisé par sa direction (droite \((AB)\)), son sens (de \(A\) vers \(B\)) et sa norme (longueur \(AB\)).

Définition — Vecteur nul

Pour tout point \(A\), le vecteur \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\) est le vecteur nul.

⚠️ Point de vigilance : \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\). On a \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).

B — Égalité de vecteurs

Définition — Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) signifie que \(ABDC\) est un parallélogramme (non croisé).

Propriété — Parallélogramme

\(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

⚠️ Point de vigilance : Pour le parallélogramme \(ABCD\), c'est \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) (et non \(\overrightarrow{CD}\)). L'ordre des sommets compte.

C — Relation de Chasles

Propriété — Relation de Chasles

Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

Méthode — Simplifier avec Chasles

On enchaîne les points : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\). L'extrémité d'un vecteur doit être l'origine du suivant.

Propriété — Règle du parallélogramme

Si \(ABCD\) est un parallélogramme (de centre \(I\)) : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\).

3. Exercices progressifs

Exercice 1 — Relation de Chasles

Simplifier : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}\), \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\).

Exercice 2 — Parallélogramme

Dans le parallélogramme \(ABCD\), compléter : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\phantom{DC}}\), \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{\phantom{BC}}\).

Exercice 3 — Vrai ou faux
  1. Si deux vecteurs ont la même norme, alors ils sont égaux.
  2. Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), alors les segments \([AB]\) et \([CD]\) ont la même longueur.
  3. Dans un parallélogramme \(ABCD\), on a toujours \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).

4. Fiche de synthèse

À retenir — Vecteur

Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme.

À retenir — Relation de Chasles

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

À retenir — Parallélogramme

Dans un parallélogramme \(ABCD\) : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).