Chapitre 2 Seconde — Vecteurs 1 — Translation et égalité de vecteurs
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Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)
- Représenter un vecteur par une flèche et connaître son sens, sa direction et sa norme.
- Utiliser la relation de Chasles.
- Additionner des vecteurs géométriquement (règle du parallélogramme et méthode de la chaîne).
- Multiplier un vecteur par un réel.
- Caractériser la colinéarité de deux vecteurs.
- Utiliser les vecteurs pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
1. Introduction
Les vecteurs sont des objets mathématiques qui modélisent les déplacements. Ce premier chapitre introduit les vecteurs à travers la notion de translation, sans faire appel aux coordonnées. L'objectif est de construire une intuition géométrique solide avant d'aborder le calcul vectoriel dans le repère.
2. Cours
A — Translation
Définition — Translation
Une translation est un déplacement qui fait glisser toute figure dans la même direction, le même sens et la même distance, sans rotation ni déformation.
Définition — Vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) décrit le déplacement du point \(A\) vers le point \(B\). Il est caractérisé par sa direction (droite \((AB)\)), son sens (de \(A\) vers \(B\)) et sa norme (longueur \(AB\)).
Définition — Vecteur nul
Pour tout point \(A\), le vecteur \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\) est le vecteur nul.
B — Égalité de vecteurs
Définition — Vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) signifie que \(ABDC\) est un parallélogramme (non croisé).
Propriété — Parallélogramme
\(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
↗️ Atelier guidé — Translation et égalité de vecteurs pas à pas
Entraîne-toi étape par étape : vocabulaire (direction, sens, norme), image d'un point par une translation, égalités de vecteurs et parallélogramme, et un défi de démonstration. Chaque exercice se termine par une rédaction à compléter, avec des exercices aléatoires illimités.
C — Relation de Chasles
Propriété — Relation de Chasles
Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
Méthode — Simplifier avec Chasles
On enchaîne les points : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\). L'extrémité d'un vecteur doit être l'origine du suivant.
Propriété — Règle du parallélogramme
Si \(ABCD\) est un parallélogramme (de centre \(I\)) : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\).
🔗 Atelier guidé — Relation de Chasles pas à pas
Entraîne-toi étape par étape : enchaîner les vecteurs, réordonner une somme, utiliser les opposés et le vecteur nul, et un défi sur la règle du parallélogramme. Chaque exercice se termine par une rédaction à compléter, avec des exercices aléatoires illimités.
Ateliers et animations — Explorer les vecteurs
Prévoir, manipuler, puis justifier : les figures aident à chercher, mais la conclusion s’appuie sur une propriété du cours. Chaque animation accompagne un atelier à réaliser seul ou en binôme.
Pour commencer avec davantage de guidage : atelier translation et égalité · atelier relation de Chasles.
Faire glisser une figure
Avant de manipuler. Un triangle se déplace par une translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Les trois sommets peuvent-ils parcourir des distances différentes ? Écris ta prévision, puis observe.
Chaque sommet parcourt le même déplacement. À l’arrivée, MM′, NN′ et PP′ représentent le vecteur AB.
Atelier 1 — Construire, comparer, expliquer
- Trace deux points distincts A et B, puis un triangle MNP. Prévois la position de son image.
- Construis M′, N′ et P′ tels que \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{NN'}=\overrightarrow{PP'}=\overrightarrow{AB}\). Avec l’équerre, trace les parallèles ; reporte la longueur AB dans le bon sens.
- Superpose au calque les triangles MNP et M′N′P′. Compare leurs longueurs et leurs angles. Explique pourquoi le déplacement est une translation.
- Échange avec ton voisin : comment détecter un sommet déplacé dans le sens opposé ? Que devient la figure si A et B sont confondus ?
Indice 1 — Quelle construction ?
Par M, trace la parallèle à (AB), puis reporte AB dans le sens de A vers B. Recommence pour N et P.
Indice 2 — Quelles égalités ?
Compare les vecteurs MM′, NN′ et PP′ au vecteur AB. Trois longueurs égales ne suffisent pas : vérifie aussi direction et sens.
Correction expliquée — À consulter après la recherche
Pour chacun des sommets X, la construction donne \(\overrightarrow{XX'}=\overrightarrow{AB}\). Tous les points subissent donc la même translation. Elle conserve les longueurs et les angles : le triangle ne tourne pas et ne se déforme pas. Pour A ≠ B, un sommet déplacé dans le sens opposé ne convient pas, même s’il parcourt la longueur AB. Si A = B, le vecteur est nul : chaque point reste à sa place. Le vecteur nul n’a pas de direction ni de sens définis.
Une flèche peut changer de place
Avant de manipuler. Si une flèche glisse sans tourner ni changer de longueur, représente-t-elle encore le même vecteur ? Et si on inverse son sens ?
La position d’une flèche ne détermine pas le vecteur : il faut comparer direction, sens et norme.
Atelier 2 — Le bon ordre des sommets
- Trace trois points A, B, C non alignés. Construis D tel que \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\).
- Écris le nom du parallélogramme en suivant ses côtés. Est-ce ABCD ou ABDC ? Justifie.
- Un élève affirme : « AB = CD, donc les vecteurs AB et CD sont égaux. » Donne un contre-exemple avec deux flèches de même longueur.
- Défi : dans un parallélogramme EFGH non aplati, donne un vecteur égal à EF, puis un vecteur opposé à EF. Justifie l’ordre des lettres.
Indice 1 — Suivre le contour
Si les flèches A → B et C → D vont dans le même sens, suis le contour A → B → D → C → A.
Indice 2 — Utiliser la propriété
Dans un parallélogramme EFGH, les vecteurs EF et HG sont égaux. Inverser les lettres d’un vecteur donne son opposé.
Correction expliquée — À consulter après la recherche
Comme \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) et A, B, C sont non alignés, ABDC est un parallélogramme. L’ordre ABCD croiserait les côtés. La seule égalité des longueurs AB = CD ne suffit pas : deux flèches de même longueur et de sens opposés représentent des vecteurs opposés, et non égaux. Dans EFGH, \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}\) et \(\overrightarrow{GH}=-\overrightarrow{EF}\). Un autre vecteur opposé est \(\overrightarrow{FE}\).
Composer deux déplacements
Avant de manipuler. Pour aller de A à B, puis de B à C, quel vecteur décrit le déplacement total ? Que se passe-t-il si on revient au point de départ ?
On additionne les déplacements, pas leurs longueurs. Le vecteur total relie le départ à l’arrivée.
Atelier 3 — Un trajet, plusieurs écritures
- Simplifie \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\). Repère le départ, les points intermédiaires et l’arrivée.
- Réordonne puis simplifie \(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\).
- Simplifie \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}\), puis \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\). Écris d’abord la soustraction comme une addition.
- Défi : ABCD est un parallélogramme non aplati. Démontre \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) en citant deux propriétés. Compare ce résultat à l’affirmation fausse « AB + AD = AC » sur les longueurs.
Indice 1 — Réordonner et inverser
Dans une somme, tu peux changer l’ordre des termes pour former une chaîne. De plus, \(-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}\).
Indice 2 — Deux vecteurs de même origine
Dans ABCD, remplace AD par BC avant d’utiliser Chasles. Ne remplace pas une somme de vecteurs par une somme de longueurs.
Correction expliquée — À consulter après la recherche
1. Par Chasles, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\).
2. L’addition est commutative : en réordonnant, on retrouve la même chaîne, donc AD.
3. \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). L’aller-retour donne \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec0\), même si la distance parcourue est 2AB.
4. ABCD est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). En remplaçant puis en appliquant Chasles, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Comme A, B, C ne sont pas alignés, l’inégalité triangulaire est stricte : AC < AB + BC = AB + AD. L’égalité vectorielle ne donne donc pas une égalité des longueurs.
Billet de sortie · 3 minutes
Sans rouvrir les corrections : explique pourquoi deux vecteurs de même norme ne sont pas forcément égaux, puis simplifie \(\overrightarrow{UV}+\overrightarrow{VW}-\overrightarrow{UW}\).
Vérifier après avoir répondu
Il faut aussi vérifier direction et sens. Par Chasles, \(\overrightarrow{UV}+\overrightarrow{VW}=\overrightarrow{UW}\), donc la différence est le vecteur nul.
3. Exercices progressifs
Exercice 1 — Relation de Chasles
Simplifier : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}\), \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\).
Exercice 2 — Parallélogramme
Dans le parallélogramme \(ABCD\), compléter : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\phantom{DC}}\), \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{\phantom{BC}}\).
Exercice 3 — Vrai ou faux
- Si deux vecteurs ont la même norme, alors ils sont égaux.
- Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), alors les segments \([AB]\) et \([CD]\) ont la même longueur.
- Dans un parallélogramme \(ABCD\), on a toujours \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
4. Fiche de synthèse
À retenir — Vecteur
Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme.
À retenir — Relation de Chasles
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
À retenir — Parallélogramme
Dans un parallélogramme \(ABCD\) : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
Feuille de 10 exercices — 1 heure
Translation, égalité de vecteurs, relation de Chasles et parallélogrammes. Les 10 QR codes de la feuille imprimée conduisent chacun au corrigé correspondant ci-dessous.
Exercice 1 — Direction, sens et norme
Durée indicative : 3 min
- Donner la direction, le sens et la norme de \(\overrightarrow{AB}\).
- Que change-t-on en passant à \(\overrightarrow{BA}\) ? Que vaut \(\overrightarrow{AA}\) ?
Corrigé détaillé
- La direction est celle de la droite horizontale \((AB)\), le sens va de \(A\) vers \(B\), donc de gauche à droite, et la norme vaut \(4\) cm.
- \(\overrightarrow{BA}\) a la même direction et la même norme, mais le sens opposé : \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\). Enfin, \(\overrightarrow{AA}=\vec0\), de norme nulle. Le vecteur nul n'a pas de direction ni de sens déterminés.
Exercice 2 — Vrai ou faux ?
Durée indicative : 4 min
- Deux vecteurs de même norme sont égaux.
- Deux vecteurs non nuls égaux ont même direction et même sens.
- Pour \(A\ne B\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont égaux.
Corrigé détaillé
- Faux. Pour \(A\ne B\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) ont même norme, mais des sens opposés.
- Vrai. L'égalité impose même direction, même sens et même norme.
- Faux. Ils sont opposés : \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\), et ne peuvent être égaux que si \(A=B\).
Exercice 3 — Translater un triangle
Durée indicative : 6 min
Corrigé détaillé
La flèche \(\vec u\) indique un déplacement de 3 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le haut. On applique ce même déplacement à chaque sommet, puis on relie les images. \[\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\vec u.\] Les longueurs et les angles sont conservés : les deux triangles sont superposables.Exercice 4 — Égalités dans un parallélogramme
Durée indicative : 5 min
Corrigé détaillé
Les côtés opposés, pris dans le même sens, définissent des vecteurs égaux : \[\text{a) }\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\qquad\text{b) }\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.\] Les diagonales se coupent en leur milieu \(I\). Ainsi, les déplacements de \(C\) vers \(I\) puis de \(I\) vers \(A\) sont égaux, et de même sur l'autre diagonale : \[\text{c) }\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{CI}\qquad\text{d) }\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{DI}.\] Attention au sens des flèches : \(\overrightarrow{IA}\) et \(\overrightarrow{IC}\) sont opposés.Exercice 5 — Chasles : enchaîner
Durée indicative : 5 min
Corrigé détaillé
On utilise \(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}\) : le point intermédiaire disparaît.- \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
- \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MQ}\).
- \(\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{RR}=\vec0\).
- \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\vec0\).
Exercice 6 — Chasles : réordonner
Durée indicative : 6 min
Corrigé détaillé
L'addition des vecteurs est commutative : on peut changer l'ordre des termes pour former une chaîne. \[\text{a) }\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}.\] \[\text{b) }\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MC}.\] \[\text{c) }\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\vec0.\]Exercice 7 — Construire une somme
Durée indicative : 6 min
Corrigé détaillé
On construit \(D\) pour que \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\) : depuis \(B\), on se déplace de 1 carreau vers la droite et 2 vers le haut. Alors \(ABDC\) est un parallélogramme, et Chasles donne : \[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\] Il faut respecter l'ordre A, B, D, C des sommets.Exercice 8 — Trouver le bon ordre des sommets
Durée indicative : 7 min
- Faire une figure et nommer un parallélogramme.
- L'image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{CD}\) est-elle \(B\) ? Justifier.
- Donner l'image de \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Corrigé détaillé
- Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme : dans cet ordre, les côtés opposés vérifient \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\). Par exemple, placer \(AB\) horizontal vers la droite, puis reporter le même déplacement à partir de \(C\) pour obtenir \(D\).
- Oui. L'image \(X\) de \(A\) satisfait \(\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{CD}\). Or \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), donc \(X=B\).
- L'image de \(C\) est D, car \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\).
Exercice 9 — Prouver une égalité vectorielle
Durée indicative : 8 min
- À l'aide de Chasles, démontrer que \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\).
- Remplacer \(\overrightarrow{CB}\) par un vecteur d'origine \(D\), puis en déduire une expression de \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}\).
- En déduire une expression de \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\).
Corrigé détaillé
- La chaîne \(A\to C\to B\) donne directement \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\).
- Dans le parallélogramme, \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\). En prenant les opposés, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}\). Donc \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}\).
- On peut écrire \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\), puis soustraire \(\overrightarrow{AB}\) : \[\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.\] On peut aussi réordonner : \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\).
Exercice 10 — Bilan : deux translations
Durée indicative : 10 min
- Faire une figure et nommer les parallélogrammes obtenus.
- Exprimer \(\overrightarrow{AD}\) puis \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Démontrer que \(D=E\). Expliquer ce résultat en termes de déplacements.
Corrigé détaillé
- \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) donne le parallélogramme ABDC. De même, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BE}\) donne ACEB, ou, dans l'autre sens de parcours, ABEC.
- Par Chasles et par les égalités de l'énoncé : \[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB},\] \[\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\]
- La commutativité donne \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}\). Ces deux vecteurs ont la même origine \(A\), donc la même extrémité : D et E sont confondus. Effectuer le déplacement \(\overrightarrow{AB}\), puis le déplacement \(\overrightarrow{AC}\), mène au même point que les effectuer dans l'ordre inverse.
Représentants et sommes de vecteurs sur quadrillage
10 exercices progressifs pour une heure. Construire les flèches directement sur la feuille. Les QR codes renvoient aux corrigés ci-dessous. Dans les figures corrigées : pointillés verts pour les constructions, rouge pour les résultats. Les positions indiquées dans les explications sont des déplacements en carreaux, sans recours aux coordonnées.
Exercice 1 — Changer de représentant
Durée indicative : 4 min
Construire les points \(C\) et \(D\) tels que \(\overrightarrow{AC}=\vec u\) et \(\overrightarrow{BD}=\vec u\). Tracer les deux représentants. Quelles caractéristiques ont-ils en commun ?
Corrigé détaillé
\(\vec u\) correspond à 3 carreaux à droite et 1 vers le haut. Depuis \(A\), puis depuis \(B\), reporter ce déplacement : on obtient \(C\), puis \(D\). Les trois flèches ont même direction, même sens et même norme : \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}=\vec u\).
Exercice 2 — Reconnaître les mêmes vecteurs
Durée indicative : 4 min
Parmi \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{EF}\), \(\overrightarrow{GH}\), lesquels sont égaux ? Lesquels sont opposés ? Justifier en comptant les carreaux.
Corrigé détaillé
De \(A\) à \(B\), de \(C\) à \(D\) et de \(E\) à \(F\), on avance de 3 carreaux à droite et 2 vers le haut : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}\). De \(G\) à \(H\), on avance de 3 à gauche et 2 vers le bas : \(\overrightarrow{GH}=-\overrightarrow{AB}\). Leurs normes sont toutes égales, mais le dernier sens est opposé.
Exercice 3 — Représenter un vecteur et son opposé
Durée indicative : 5 min
Construire \(M\) tel que \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}\), puis \(N\) tel que \(\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{BA}\). Tracer les deux flèches et comparer leurs sens.
Corrigé détaillé
Le déplacement de \(A\) à \(B\) vaut 3 carreaux à droite et 1 vers le haut : c'est le déplacement à reporter depuis \(C\) pour obtenir \(M\). Pour \(\overrightarrow{BA}\), inverser le déplacement : depuis \(D\), 3 carreaux à gauche et 1 vers le bas donnent \(N\). Ainsi, \(\overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{CM}\).
Exercice 4 — Compléter un parallélogramme
Durée indicative : 5 min
Construire \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Relier \(A,B,C,D\). Nommer un autre représentant de \(\overrightarrow{AB}\) et le tracer.
Corrigé détaillé
De \(B\) à \(C\), on se déplace de 2 carreaux à droite et 3 vers le haut. Depuis \(A\), le même déplacement donne \(D\). Ainsi, \(ABCD\) est un parallélogramme. Le vecteur \(\overrightarrow{DC}\) est un autre représentant de \(\overrightarrow{AB}\) : dans les deux cas, 4 carreaux à droite et 1 vers le haut.
Exercice 5 — Additionner des flèches enchaînées
Durée indicative : 6 min
Tracer en rouge le vecteur \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\). Écrire son nom à l'aide de Chasles. Construire ensuite \(S\) tel que \(\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\).
Corrigé détaillé
Par Chasles, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). La somme relie directement \(A\) à \(C\) : 6 carreaux à droite et 4 vers le haut. Reporter ce déplacement depuis \(O\) donne \(S\), avec \(\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{AC}\).
Exercice 6 — Mettre les vecteurs bout à bout
Durée indicative : 6 min
Depuis \(O\), tracer un représentant de \(\vec u\), puis de \(\vec v\) à son extrémité. Nommer \(S\) le point d'arrivée. Tracer en rouge \(\overrightarrow{OS}=\vec u+\vec v\).
Corrigé détaillé
Depuis \(O\), reporter \(\vec u\) : 4 carreaux à droite et 1 vers le haut ; on arrive en \(M\). Depuis \(M\), reporter \(\vec v\) : 1 à gauche et 3 vers le haut ; on arrive en \(S\). Au total, \(S\) est 3 carreaux à droite et 4 vers le haut de \(O\). Par Chasles, \(\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MS}=\vec u+\vec v\).
Exercice 7 — Utiliser le parallélogramme
Durée indicative : 6 min
Construire \(C\) pour que \(OACB\) soit un parallélogramme. Tracer en rouge \(\overrightarrow{OC}\). Justifier que \(\overrightarrow{OC}=\vec u+\vec v\).
Corrigé détaillé
On construit \(C\) à l'intersection de la parallèle à \((OB)\) passant par \(A\) et de la parallèle à \((OA)\) passant par \(B\). Le point \(C\) est 5 carreaux à droite et 4 vers le haut de \(O\). Comme \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}=\vec v\), Chasles donne \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v\).
Exercice 8 — Deux sommes très différentes
Durée indicative : 7 min
Représenter depuis \(O\) les sommes \(\vec u+\vec v\) puis \(\vec u+\vec u\), dans deux couleurs. Expliquer pourquoi la première somme n'est pas une flèche de longueur double.
Corrigé détaillé
\(\vec u\) vaut 3 carreaux à droite et 1 vers le haut ; \(\vec v\) vaut 3 à gauche et 1 vers le bas. Ils sont opposés : \(\vec u+\vec v=\vec0\). Depuis \(O\), l'aller puis le retour aboutissent à \(O\), sans flèche non nulle pour la somme. En revanche, \(\vec u+\vec u\) vaut 6 carreaux à droite et 2 vers le haut : son extrémité est \(T\). On additionne des déplacements, pas leurs longueurs.
Exercice 9 — Additionner trois vecteurs
Durée indicative : 8 min
À partir de \(O\), enchaîner \(\vec u\), \(\vec v\), puis \(\vec w\). Nommer \(S\) l'arrivée et tracer la somme en rouge. Prévoir si l'ordre \(\vec w,\vec u,\vec v\) change l'arrivée, puis vérifier sur la figure.
Corrigé détaillé
On effectue successivement : 3 carreaux à droite et 1 vers le haut (\(M\)) ; 1 à gauche et 2 vers le haut (\(N\)) ; 2 à droite et 1 vers le bas (\(S\)). Au total : 4 à droite et 2 vers le haut. Dans l'ordre \(\vec w,\vec u,\vec v\), les arrivées intermédiaires sont \(P\), puis \(Q\), puis le même point \(S\). L'addition des vecteurs est commutative et associative.
Exercice 10 — Retrouver le vecteur manquant
Durée indicative : 9 min
On cherche \(\vec v\) tel que \(\vec u+\vec v=\overrightarrow{OT}\). Construire \(M\) tel que \(\overrightarrow{OM}=\vec u\). Quel vecteur faut-il tracer ensuite ? Représenter enfin \(\vec v\) d'origine \(B\), d'extrémité \(N\).
Corrigé détaillé
Depuis \(O\), reporter \(\vec u\) : 3 carreaux à droite et 1 vers le haut ; on arrive en \(M\). Le vecteur manquant est \(\overrightarrow{MT}\), car \(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{OT}\). De \(M\) à \(T\), il faut 2 carreaux à droite et 2 vers le haut. Reporter ce déplacement depuis \(B\) donne \(N\), avec \(\overrightarrow{BN}=\vec v\).
Compléments : reconnaître des vecteurs dans un pavage
Quatre exercices supplémentaires avec vingt points nommés sur chaque figure. Carrés et triangles équilatéraux permettent de distinguer les vecteurs égaux, les vecteurs opposés et leurs représentants. Durée indicative : 24 min, en complément du parcours initial d'une heure.
Exercice 11 — Pavage carré : plusieurs représentants
Durée indicative : 5 min
- Donner quatre autres représentants de \(\vec u\), avec des points du pavage, et les tracer.
- Tracer les représentants de \(\vec v\) d'origines \(B\), \(H\) et \(M\). Nommer leurs extrémités.
- Les flèches de \(A\) vers \(B\) et de \(B\) vers \(A\) représentent-elles le même vecteur ? Justifier.
Corrigé détaillé
- Quatre exemples possibles : \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{PQ}=\vec u\). Chaque déplacement correspond à un côté de carré vers la droite. D'autres réponses sont possibles.
- \(\vec v\) correspond à un côté de carré vers le bas. Les extrémités sont donc \(G\), \(M\), \(R\) : \(\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{MR}=\vec v\).
- Non : \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\). Même direction et même norme ne suffisent pas ; les sens sont opposés.
Exercice 12 — Pavage carré : reconnaître un déplacement
Durée indicative : 6 min
- Parmi \(\overrightarrow{BI}\), \(\overrightarrow{FM}\), \(\overrightarrow{GN}\), \(\overrightarrow{IK}\), \(\overrightarrow{LS}\), \(\overrightarrow{HA}\), \(\overrightarrow{FO}\), relever ceux qui sont égaux à \(\overrightarrow{AH}\).
- Tracer ses représentants d'origines \(F\), \(K\) et \(H\). Nommer leurs extrémités.
- Défi : trouver tous les représentants de \(\overrightarrow{AH}\) dont les extrémités sont nommées sur le pavage.
Corrigé détaillé
- \(\overrightarrow{AH}\) correspond à deux côtés de carré vers la droite et un vers le bas. Dans la liste : \(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{LS}=\overrightarrow{AH}\). \(\overrightarrow{IK}\) part vers la gauche, \(\overrightarrow{HA}\) est opposé et \(\overrightarrow{FO}\) avance de quatre carrés vers la droite.
- Les extrémités cherchées sont \(M\), \(R\), \(O\) : \(\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{KR}=\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{AH}\).
- Il y a neuf représentants : \(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BI},\overrightarrow{CJ},\overrightarrow{FM},\overrightarrow{GN},\overrightarrow{HO},\overrightarrow{KR},\overrightarrow{LS},\overrightarrow{MT}\).
Exercice 13 — Pavage triangulaire : égaux ou opposés ?
Durée indicative : 6 min
- Regrouper les vecteurs égaux parmi \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AF}\), \(\overrightarrow{BG}\), \(\overrightarrow{KL}\), \(\overrightarrow{LK}\), \(\overrightarrow{FA}\).
- Donner un vecteur de cette liste opposé à \(\overrightarrow{AB}\), puis un vecteur opposé à \(\overrightarrow{AF}\).
- Pourquoi \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}\) ne sont-ils pas égaux, bien qu'ils aient la même norme ?
Corrigé détaillé
- Premier groupe : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{KL}\), un côté vers la droite. Deuxième groupe : \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BG}\), un côté oblique vers le bas et la gauche. \(\overrightarrow{LK}\) et \(\overrightarrow{FA}\) ne sont égaux à aucun autre vecteur de la liste.
- \(\overrightarrow{LK}=-\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{FA}=-\overrightarrow{AF}\).
- Leurs directions sont différentes : \((AB)\) est horizontale et \((AF)\) est oblique. La même norme ne suffit donc pas.
Exercice 14 — Pavage triangulaire : déplacer et additionner
Durée indicative : 7 min
- Compléter avec un point du pavage : \(\overrightarrow{H\ldots}=\vec u\) et \(\overrightarrow{M\ldots}=\vec v\).
- En reportant \(\vec v\) à partir de \(B\), montrer que \(\vec u+\vec v=\overrightarrow{AG}\).
- Compléter : \(\overrightarrow{C\ldots}=\vec u+\vec v\) et \(\overrightarrow{L\ldots}=\vec u+\vec v\). Tracer ces deux représentants.
- Donner deux autres représentants de cette somme.
Corrigé détaillé
- Les extrémités sont \(I\) et \(R\) : \(\overrightarrow{HI}=\vec u\) et \(\overrightarrow{MR}=\vec v\).
- \(\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AF}=\vec v\). Par Chasles, \(\vec u+\vec v=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AG}\).
- Les extrémités sont \(I\) et \(R\) : \(\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{LR}=\vec u+\vec v\). Le déplacement est un côté oblique vers le bas et la droite.
- Par exemple \(\overrightarrow{BH}\) et \(\overrightarrow{FL}\). D'autres réponses sont possibles : \(\overrightarrow{DJ},\overrightarrow{GM},\overrightarrow{HN},\overrightarrow{IO},\overrightarrow{KQ},\overrightarrow{MS},\overrightarrow{NT}\).