✅ Corrigé

Exercice 1 (points points)

Solution

Probabilités - Groupe sanguin et rhésus

\paragraph{Question 1:} Arbre de probabilités

• $P(A) = 0,45$, $P_A(R) = 0,85$, $P_A(\bar{R}) = 0,15$
  
• $P(B) = 0,10$, $P_B(R) = 0,84$, $P_B(\bar{R}) = 0,16$
  
• $P(AB) = 0,03$, $P_{AB}(R) = 0,82$, $P_{AB}(\bar{R}) = 0,18$
  
• $P(O) = 0,42$
  

\paragraph{Question 2:} Calcul de $P(B \cap R)$

Par la formule des probabilités composées:
$$ P(B \cap R) = P(B) \times P_B(R) = 0,10 \times 0,84 = 0,084 $$

Interprétation: 8,4% de la population française est du groupe B avec rhésus positif.

\paragraph{Question 3:} Calcul de $P_O(R)$

Utilisons la formule des probabilités totales:
$$ P(R) = P(A \cap R) + P(B \cap R) + P(AB \cap R) + P(O \cap R) $$

Calculs:
$$ P(A \cap R) &= 0,45 \times 0,85 = 0,3825 \\ P(B \cap R) &= 0,084 \\ P(AB \cap R) &= 0,03 \times 0,82 = 0,0246 \\ P(O \cap R) &= 0,8397 - 0,3825 - 0,084 - 0,0246 = 0,3486 $$

D'où:
$$ P_O(R) = \frac{P(O \cap R)}{P(O)} = \frac{0,3486}{0,42} = 0,83 $$

\paragraph{Question 4:} Donneur universel

$$ P(O \cap \bar{R}) = P(O) \times (1 - P_O(R)) = 0,42 \times 0,17 = 0,0714 $$

\paragraph{Question 5.a:} Loi binomiale

$X \sim \mathcal{B}(100, 0,0714)$ car:

• 100 épreuves indépendantes (tirage avec remise)
  
• Deux issues: donneur universel (p=0,0714) ou non
  

\paragraph{Question 5.b:} $P(X \leq 7) \approx 0,468$

\paragraph{Question 5.c:} Espérance et variance
$$ E(X) &= 100 \times 0,0714 = 7,14 \\ V(X) &= 100 \times 0,0714 \times 0,9286 = 6,63 $$

\paragraph{Question 6:} Analyse de $M_N$

\subparagraph{6.a)} $M_N$ représente la moyenne du nombre de donneurs universels par ville.

\subparagraph{6.b)} $E(M_N) = 7,14$

\subparagraph{6.c)} $V(M_N) = \frac{6,63}{N}$ (démontré par linéarité de la variance)

\subparagraph{6.d)} Par Bienaymé-Tchebychev, la plus petite valeur est $N = 6766$.

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Exercice 2 (points points)

Solution

Analyse - Fonctions, dérivées, intégrales

\paragraph{Partie A: Lectures graphiques}

\subparagraph{Question 1)} $f'(1)$ est la pente de la tangente en A(1,2).
La tangente passe par C(3,0), donc:
$$ f'(1) = \frac{0-2}{3-1} = -1 $$

\subparagraph{Question 2)} L'équation $f'(x) = 0$ a une solution (le pic de la courbe).

\subparagraph{Question 3)} $f''(0,2) > 0$ (la courbe est concave).

\paragraph{Partie B: Étude analytique}

Soit $f(x) = x(2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2)$.

\subparagraph{Question 1)} Résoudre $2X^2 - 3X + 2 = 0$:
$$ X = \frac{3 \pm \sqrt{9-16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} $$

Pas de solutions réelles. Donc $f(x) > 0$ pour tout $x > 0$ et $C_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

\subparagraph{Question 2)} $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ car $(\ln x)^2$ croît plus vite que linéairement.

\subparagraph{Question 3.a)} $f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1$ est donné.

$f''(x) = \frac{4\ln x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{4\ln x + 1}{x}$

\subparagraph{Question 3.b)} Convexité: $f''(x) = 0$ quand $\ln x = -\frac{1}{4}$, donc $x = e^{-1/4}$.

Point d'inflexion: $x = e^{-1/4} \approx 0,778$

\paragraph{Partie C: Calcul d'aire}

\subparagraph{Question 1)} Tangente $T_B$ au point B(e, e):
$$ f'(e) = 2(\ln e)^2 + \ln e - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 $$

Équation: $y - e = 2(x - e)$, soit $y = 2x - e$

\subparagraph{Question 2)} Intégration par parties: $\int_1^e x \ln x dx = \frac{e^2+1}{4}$

\subparagraph{Question 3)} Aire: $\mathcal{A} = \frac{e^2 - 1}{4}$ unités carrées.

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Exercice 3 (points points)

Solution

Géométrie dans l'espace

\paragraph{Question 1 - Affirmation 1:} VRAIE

Vérification: Point A$(-1, 0, 5)$ et B$(3, 2, -1)$.

Vecteur directeur: $\vec{AB} = (4, 2, -6)$ ou $(2, 1, -3)$.

La représentation paramétrique donnée utilise vecteur $(−2, −1, 3)$ qui est opposé, donc elle est valide.

\paragraph{Question 1 - Affirmation 2:} FAUSSE

Le vecteur normal au plan (OAB) doit être orthogonal à $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$.

$\vec{OA} = (-1, 0, 5)$, $\vec{OB} = (3, 2, -1)$

Vecteur normal: $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = (-10, 14, -2)$

Le vecteur $(-2, 5, 1)$ n'est pas proportionnel à $(-10, 14, -2)$.

\paragraph{Question 2 - Affirmation 3:} VRAIE

Droite $d$: vecteur directeur $\vec{u} = (1, -1, 2)$, point $(15, 8, -6)$

Droite $d'$: vecteur directeur $\vec{v} = (4, 4, -6)$

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas proportionnels, donc pas parallèles.

Vérifier si elles se coupent: pas de solution au système d'équations paramétriques.

Donc les droites ne sont pas coplanaires.

\paragraph{Question 3 - Affirmation 4:} FAUSSE

Distance du point C$(2, -1, 2)$ au plan $x - y + z + 1 = 0$:

$$ d = \frac{|2 - (-1) + 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $$

C'est bien $2\sqrt{3}$, donc l'affirmation est VRAIE (erreur dans mon énoncé initial).

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Exercice 4 (points points)

Solution

Suites numériques - Modèle discret de la posidonie

\paragraph{Question 1:} Calcul de $u_1$

$$ u_1 = h(u_0) = -0,02 \times 1^2 + 1,3 \times 1 = -0,02 + 1,3 = 1,28 \text{ ha} $$

\paragraph{Question 2.a)} Montrer que $1 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 20$

Par récurrence sur n:

• Initialisation: $u_0 = 1$ ✓
  
• Hérédité: Si $1 \leq u_n \leq 20$, alors $h$ est croissante sur $[1, 20]$, donc
  $$ u_{n+1} = h(u_n) \geq h(1) = 1,28 > 1 $$
  et
  $$ u_{n+1} = h(u_n) \leq h(20) = -0,02 \times 400 + 26 = 18 < 20 $$
  

De plus, si $u_n \leq u_{n+1}$, alors $h(u_n) \leq h(u_{n+1})$, soit $u_{n+1} \leq u_{n+2}$.

Donc la suite est croissante.

\paragraph{Question 2.b)} Convergence

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 20, donc elle converge.

\paragraph{Question 2.c)} Limite

À la limite: $L = h(L) = -0,02L^2 + 1,3L$

$$ L = -0,02L^2 + 1,3L $$
$$ 0 = -0,02L^2 + 0,3L $$
$$ 0 = L(-0,02L + 0,3) $$

Solutions: $L = 0$ ou $L = 15$.

Comme $L > 1$, on a $L = 15$ ha.