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Terminale · Spécialité maths · Orthogonalité dans l'espace
Projeté orthogonal et distance à un plan
Le projeté orthogonal \(H\) d'un point \(M\) sur un plan \(\mathcal P\) est le pied de la perpendiculaire à \(\mathcal P\) passant par \(M\). Faites tourner la figure à la souris (ou au doigt), déplacez \(M\), et comparez \(MH\) à la distance de \(M\) aux autres points du plan.
plan 𝒫
vecteur normal n
[MH]
[MN], N dans 𝒫
À retenir
- \(\vec n\,(a\,;b\,;c)\) est normal au plan \(\mathcal P\,:\ ax+by+cz+d=0\).
- Pour trouver \(H\) : on écrit la droite passant par \(M\) dirigée par \(\vec n\), puis on cherche son intersection avec \(\mathcal P\).
- Pour tout point \(N\) du plan, \(MN^{2}=MH^{2}+HN^{2}\geq MH^{2}\) (Pythagore dans le triangle \(MHN\) rectangle en \(H\)) : \(H\) est le point du plan le plus proche de \(M\).
- \(d(M,\mathcal P)=MH=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\).