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Terminale · Spécialité maths · Continuité
Valeurs intermédiaires et dichotomie
Une fonction continue sur \([a\,;b]\) prend toutes les valeurs comprises entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Déplacez \(k\) pour le voir, puis utilisez cette propriété pour approcher une solution de \(f(x)=0\) par dichotomie.
| étape | a | b | m | f(m) | amplitude |
|---|
À retenir
- TVI : si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=k\) admet au moins une solution dans \([a\,;b]\).
- Si de plus \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\), la solution est unique (corollaire du TVI).
- Sans continuité, le théorème ne s'applique plus : la courbe peut « sauter » par-dessus la droite \(y=k\).
- Dichotomie : si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, on calcule \(f(m)\) avec \(m=\frac{a+b}{2}\) et on garde la moitié où \(f\) change de signe. Après \(n\) étapes, l'amplitude est \(\frac{b-a}{2^{n}}\).