Polynesie 2025 Jour 2 Exercice 4

\begin{center} \Large\textbf{Corrigé -- Polynésie 2025 Jour 2 -- Exercice 4} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{Thème :} Vrai/Faux -- Dénombrement, intégration, équations différentielles, suites. \vspace{0.5cm} \section*{Affirmation n\textdegree{}1} \textbf{Énoncé :} Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E = \{1,\dots,7\}$ que de combinaisons à 4 éléments de $F = \{0,\dots,9\}$. \textbf{3-uplets d'éléments distincts de $E$ :} c'est un arrangement $A_7^3 = 7 \times 6 \times 5$, soit $A_7^3 = 210$. \textbf{Combinaisons à 4 éléments de $F$ :} \[ \displaystyle\binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} \] \[ \displaystyle\binom{10}{4} = \frac{5040}{24} \] \[ \displaystyle\binom{10}{4} = 210 \] $210 = 210$, il n'y a pas \emph{davantage} de 3-uplets distincts. \[ \boxed{\textbf{FAUSSE}} \] \section*{Affirmation n\textdegree{}2} \textbf{Énoncé :} La zone hachurée et le carré $ABCD$ de côté 3 ont la même aire. Le carré $ABCD$ de côté $3$ a une aire de $3 \times 3 = 9$ unités d'aire. La zone hachurée est comprise entre la courbe de $f(x) = x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$. Son aire vaut : \[ \int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 \] \[ \int_0^3 x^2\,dx = \frac{27}{3} \] \[ \int_0^3 x^2\,dx = 9 \] Les deux aires sont égales à $9$. \[ \boxed{\textbf{VRAIE}} \] \section*{Affirmation n\textdegree{}3} \textbf{Énoncé :} $J = \int_1^2 x\ln(x)\,dx = \dfrac{7}{11}$. On effectue une intégration par parties. On rappelle la formule : \[ \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx = \bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx \] On pose $u'(x) = x$, donc $u(x) = \dfrac{x^2}{2}$ ; et $v(x) = \ln(x)$, donc $v'(x) = \dfrac{1}{x}$. \[ J = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx \] \[ J = \left(\frac{4}{2}\ln(2) - \frac{1}{2}\ln(1)\right) - \frac{1}{2}\int_1^2 x\,dx \] \[ J = 2\ln(2) - 0 - \frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^2 \] \[ J = 2\ln(2) - \frac{1}{2}\left(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right) \] \[ J = 2\ln(2) - \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \] \[ J = 2\ln(2) - \frac{3}{4} \] Or $2\ln(2) - \dfrac{3}{4}$ est irrationnel (car $\ln(2)$ est irrationnel) tandis que $\dfrac{7}{11}$ est rationnel. Ces deux nombres sont donc distincts. \[ \boxed{\textbf{FAUSSE} \quad \left(J = 2\ln(2) - \frac{3}{4} \neq \frac{7}{11}\right)} \] \section*{Affirmation n\textdegree{}4} \textbf{Énoncé :} $f(x) = e^x + e^{2x}$ est solution de $y' = 2y - e^x$. On calcule $f'(x)$ : \[ f'(x) = e^x + 2e^{2x} \] On calcule $2f(x) - e^x$ : \[ 2f(x) - e^x = 2(e^x + e^{2x}) - e^x \] \[ 2f(x) - e^x = 2e^x + 2e^{2x} - e^x \] \[ 2f(x) - e^x = e^x + 2e^{2x} \] On a bien $f'(x) = 2f(x) - e^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. \[ \boxed{\textbf{VRAIE}} \] \section*{Affirmation n\textdegree{}5} \textbf{Énoncé :} La suite $u_n = (x-1)e^n + \cos(n)$ avec $x \in [0,1[$ diverge vers $-\infty$. Pour $x \in [0,1[$, on a $x - 1 < 0$ (strictement négatif). \[ \lim_{n \to +\infty} (x-1)e^n = -\infty \] La quantité $\cos(n)$ est bornée entre $-1$ et $1$. La somme d'une suite tendant vers $-\infty$ et d'une suite bornée tend vers $-\infty$. \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty \] \[ \boxed{\textbf{VRAIE}} \]