Polynesie 2025 Jour 1 Exercice 4

\begin{center} \Large\textbf{Corrigé -- Polynésie 2025 J1 -- Exercice 4} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{Thème :} Vrai/Faux -- Équations différentielles, combinatoire, suites, géométrie, convexité \vspace{0.5cm} \section*{Affirmation 1} \textbf{Énoncé :} Les solutions de $y' = \frac{1}{2}y + 4$ sont $f(x) = k e^{\frac{1}{2}x} - 8$, avec $k \in \mathbb{R}$. L'équation est de la forme $y' = ay + b$ avec $a = \frac{1}{2}$ et $b = 4$. Les solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto k e^{ax} - \frac{b}{a}$, $k \in \mathbb{R}$. Soit $x \mapsto k e^{\frac{1}{2}x} - \dfrac{4}{1/2} = k e^{\frac{1}{2}x} - 8$. \[ \boxed{\textbf{VRAIE}} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \section*{Affirmation 2} \textbf{Énoncé :} Il y a 297\,024 possibilités pour former une équipe de 3 filles et 3 garçons (parmi 18 filles et 14 garçons). Nombre de façons de choisir 3 filles parmi 18 : $\displaystyle\binom{18}{3} = \frac{18 \times 17 \times 16}{6} = 816$. Nombre de façons de choisir 3 garçons parmi 14 : $\displaystyle\binom{14}{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{6} = 364$. Total : $816 \times 364 = 297\,024$. \[ \boxed{\textbf{VRAIE}} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \section*{Affirmation 3} \textbf{Énoncé :} La suite $v_n = \frac{n}{2 + \cos(n)}$ diverge vers $+\infty$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\cos(n) \in [-1\,;\,1]$, donc $2 + \cos(n) \in [1\,;\,3]$. Ainsi : $\dfrac{n}{3} \leq v_n \leq n$. Comme $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{3} = +\infty$, par comparaison : \[ \boxed{\textbf{VRAIE} \quad \left(\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty\right)} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \section*{Affirmation 4} \textbf{Énoncé :} $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 10$ et $\widehat{BAC} = 30^\circ$. On calcule : \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5-1\\-1-1\\8-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2-1\\1-1\\3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 1 + (-2) \times 0 + 6 \times 1 = 4 + 0 + 6 = 10 \quad \checkmark \] Le produit scalaire est bien $10$. Vérifions l'angle : $||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ $||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$ \[ \cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{||\overrightarrow{AB}|| \cdot ||\overrightarrow{AC}||} = \frac{10}{2\sqrt{14} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10}{2\sqrt{28}} = \frac{10}{4\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}} \] \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660 \] Or $\dfrac{5}{2\sqrt{7}} = \dfrac{5\sqrt{7}}{14} \approx 0{,}9449 \neq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. L'angle n'est donc pas $30^\circ$ (il vaut environ $19{,}1^\circ$). \[ \boxed{\textbf{FAUSSE} \text{ (le produit scalaire vaut bien 10, mais l'angle n'est pas } 30^\circ)} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \section*{Affirmation 5} \textbf{Énoncé :} La fonction $h$ est convexe sur $[e^3\,;\,+\infty[$. On a $h''(x) = x\ln x - 3x = x(\ln x - 3)$ pour tout $x > 0$. $h$ est convexe lorsque $h''(x) \geq 0$. Comme $x > 0$, $h''(x) \geq 0 \iff \ln x - 3 \geq 0$. $\ln x \geq 3 \iff x \geq e^3$. Donc $h''(x) \geq 0$ pour tout $x \in [e^3\,;\,+\infty[$ : $h$ est bien convexe sur cet intervalle. \[ \boxed{\textbf{VRAIE}} \]