Polynesie 2025 Jour 1 Exercice 3
\begin{center}
\Large\textbf{Corrigé -- Polynésie 2025 J1 -- Exercice 3}
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\textbf{Thème :} Fonctions, intégrales, suites -- Étude de $f_n(x)=x^n e^{-x}$, intégration, récurrence
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\section*{Partie A : Étude des fonctions $f_n$ pour $n \geq 1$}
Pour $n \geq 1$, $f_n(x) = x^n e^{-x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
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\textbf{Question 1.a.} Montrer que $f_n'(x) = (n-x)x^{n-1}e^{-x}$.
$f_n$ est le produit de $u(x) = x^n$ et $v(x) = e^{-x}$, toutes deux dérivables sur $[0\,;\,+\infty[$.
$u'(x) = n x^{n-1}$, $v'(x) = -e^{-x}$.
\[
f_n'(x) = n x^{n-1} e^{-x} + x^n(-e^{-x}) = x^{n-1} e^{-x}(n - x)
\]
\[
\boxed{f_n'(x) = (n - x)\,x^{n-1}\,e^{-x}}
\]
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\textbf{Question 1.b.} Justifier les éléments du tableau de variations.
Sur $[0\,;\,+\infty[$, $x^{n-1} e^{-x} \geq 0$. Le signe de $f_n'$ est donc celui de $(n-x)$.
\begin{itemize}
\item $f_n'(x) > 0$ pour $x \in [0\,;\,n[$, donc $f_n$ est strictement croissante sur $[0\,;\,n]$.
\item $f_n'(n) = 0$.
\item $f_n'(x) < 0$ pour $x \in ]n\,;\,+\infty[$, donc $f_n$ est strictement décroissante sur $[n\,;\,+\infty[$.
\end{itemize}
Aux bornes :
\begin{itemize}
\item $f_n(0) = 0^n \times e^0 = 0$.
\item $f_n(n) = n^n e^{-n}$ (maximum).
\item $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 0$ (car $e^{-x}$ l'emporte sur toute puissance polynomiale).
\end{itemize}
\textbf{Tableau de variations de $f_n$ sur $[0\,;\,+\infty[$ :}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ / 1 , $f_n'(x)$ / 1 , $f_n(x)$ / 2}{$0$, $n$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabVar{-/ $0$ , +/ $n^n e^{-n}$ , -/ $0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
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\textbf{Question 2.} Justifier que $A(1\,;\,e^{-1})$ appartient à $\mathcal{C}_n$.
Pour tout $n \geq 1$ :
\[
f_n(1) = 1^n \times e^{-1} = e^{-1}
\]
\[
\boxed{\text{Le point } A(1\,;\,e^{-1}) \text{ appartient à } \mathcal{C}_n \text{ pour tout } n \geq 1.}
\]
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\section*{Partie B : Étude des intégrales $I_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx$}
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\textbf{Question 1.a.} Interprétation graphique de $I_n$.
$I_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx$ représente l'\textbf{aire} (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.
Comme $f_n(x) \geq 0$ sur $[0\,;\,1]$, il s'agit bien de l'aire sous la courbe.
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\textbf{Question 1.b.} Conjecture sur $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n$.
D'après le graphique, les courbes $\mathcal{C}_n$ sont de plus en plus «\,aplaties\,» sur $[0\,;\,1]$ lorsque $n$ augmente. L'aire sous la courbe semble tendre vers $0$.
\[
\boxed{\text{Conjecture : } \lim_{n \to +\infty} I_n = 0}
\]
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\textbf{Question 2.} Calculer $I_0$.
$f_0(x) = e^{-x}$. Une primitive est $F_0(x) = -e^{-x}$.
\[
I_0 = \int_0^1 e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_0^1 = -e^{-1} - (-e^0) = 1 - \frac{1}{e}
\]
\[
\boxed{I_0 = 1 - \frac{1}{e}}
\]
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\textbf{Question 3.a.} Démontrer que pour tout $x \in [0\,;\,1]$, $0 \leq x^{n+1} \leq x^n$.
Pour $x \in [0\,;\,1]$, on a $0 \leq x \leq 1$.
En multipliant l'inégalité $x \leq 1$ par $x^n \geq 0$, on obtient $x^{n+1} \leq x^n$.
De plus, $x^{n+1} \geq 0$ car $x \geq 0$.
\[
\boxed{0 \leq x^{n+1} \leq x^n}
\]
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\textbf{Question 3.b.} En déduire $0 \leq I_{n+1} \leq I_n$.
On multiplie l'inégalité par $e^{-x} > 0$ :
\[
0 \leq x^{n+1} e^{-x} \leq x^n e^{-x}
\]
En intégrant sur $[0\,;\,1]$ (les bornes sont dans l'ordre croissant, l'inégalité est conservée) :
\[
0 \leq \int_0^1 x^{n+1} e^{-x}\,dx \leq \int_0^1 x^n e^{-x}\,dx
\]
\[
\boxed{0 \leq I_{n+1} \leq I_n}
\]
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\textbf{Question 4.} Démontrer que $(I_n)$ est convergente.
D'après la question 3.b, la suite $(I_n)$ est \textbf{décroissante} et \textbf{minorée} par $0$.
Le théorème de la limite monotone assure alors que $(I_n)$ converge vers une limite $\ell \geq 0$.
\[
\boxed{\text{La suite } (I_n) \text{ converge vers } \ell \geq 0.}
\]
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\textbf{Question 5.} Démontrer par IPP que $I_{n+1} = (n+1)I_n - \frac{1}{e}$.
On rappelle la formule d'intégration par parties :
\[
\int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx = \bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx
\]
On pose : $u'(x) = e^{-x}$ et $v(x) = x^{n+1}$.
Alors $u(x) = -e^{-x}$ et $v'(x) = (n+1)x^n$.
Par intégration par parties :
\[
I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} e^{-x}\,dx = \bigl[-x^{n+1} e^{-x}\bigr]_0^1 - \int_0^1 \bigl(-e^{-x}\bigr)(n+1)x^n\,dx
\]
\[
= \left(-1^{n+1} e^{-1} + 0 \cdot e^0\right) + (n+1)\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx
\]
\[
= -\frac{1}{e} + (n+1)I_n
\]
\[
\boxed{I_{n+1} = (n+1)I_n - \frac{1}{e}}
\]
\newpage
\textbf{Question 6.a.} Montrer que $\ell > 0$ conduit à une contradiction.
Supposons $\ell > 0$. Comme $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = \ell$, on a aussi $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_{n+1} = \ell$.
En passant à la limite dans la relation $I_{n+1} = (n+1)I_n - \frac{1}{e}$ :
\[
\ell = \lim_{n \to +\infty} \bigl((n+1)I_n\bigr) - \frac{1}{e}
\]
Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n+1)I_n = +\infty \times \ell = +\infty$ (car $\ell > 0$).
On aurait donc $\ell = +\infty$, ce qui contredit la convergence de $(I_n)$ vers une limite finie.
\[
\boxed{\ell > 0 \text{ est impossible}}
\]
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\textbf{Question 6.b.} Démontrer que $\ell = 0$.
On sait que $\ell \geq 0$ (car $I_n \geq 0$ pour tout $n$).
D'après 6.a, $\ell > 0$ est impossible. Donc nécessairement :
\[
\boxed{\ell = 0}
\]
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\textbf{Question 7.} Que renvoie \texttt{mystere(100)} ?
La fonction \texttt{mystere} initialise $I$ à $I_0 = 1 - \frac{1}{e}$, puis itère la relation de récurrence $I_{i+1} = (i+1)I_i - \frac{1}{e}$ pour $i$ allant de $0$ à $n-1$.
Elle stocke chaque valeur dans une liste $L$.
Donc \texttt{mystere(100)} renvoie la liste :
\[
\boxed{[I_0,\ I_1,\ I_2,\ \ldots,\ I_{100}]}
\]
où chaque $I_k$ est calculé par la relation $I_{k+1} = (k+1)I_k - \frac{1}{e}$.