Polynesie 2025 Jour 1 Exercice 2

\begin{center} \Large\textbf{Corrigé -- Polynésie 2025 J1 -- Exercice 2} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{Thème :} Géométrie dans l'espace -- Droites, plans, distances, produit scalaire \vspace{0.5cm} \textbf{Question 1.} Déterminer les coordonnées du point $S$ où l'avion Bêta touche le sol. Le sol est le plan $\mathcal{P}_0$ d'équation $z = 0$. La droite $d_B$ a pour représentation paramétrique : \[ \begin{cases} x = -11 + 5t \\ y = -5 + t \\ z = 11 - 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \] Le point $S$ correspond à $z = 0$, donc $11 - 4t = 0$, soit $t = \frac{11}{4}$. On reporte : $x_S = -11 + 5 \times \frac{11}{4} = -11 + \frac{55}{4} = \frac{-44 + 55}{4} = \frac{11}{4}$ $y_S = -5 + \frac{11}{4} = \frac{-20 + 11}{4} = -\frac{9}{4}$ \[ \boxed{S\!\left(\frac{11}{4}\,;\, -\frac{9}{4}\,;\, 0\right)} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 2.a.} Représentation paramétrique de $d_A$. $d_A$ passe par $A(-7\,;\,1\,;\,7)$ et est dirigée par $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$. \[ \boxed{d_A : \begin{cases} x = -7 + 2s \\ y = 1 - s \\ z = 7 - 3s \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R}} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 2.b.} Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ? Il y a collision s'il existe $(s, t) \in \mathbb{R}^2$ tel que : \[ \begin{cases} -7 + 2s = -11 + 5t & (1) \\ 1 - s = -5 + t & (2) \\ 7 - 3s = 11 - 4t & (3) \end{cases} \] De $(2)$ : $t = 1 - s + 5 = 6 - s$. Dans $(1)$ : $-7 + 2s = -11 + 5(6 - s) = -11 + 30 - 5s = 19 - 5s$ $2s + 5s = 19 + 7$ soit $7s = 26$ d'où $s = \dfrac{26}{7}$. Alors $t = 6 - \dfrac{26}{7} = \dfrac{42-26}{7} = \dfrac{16}{7}$. Vérification avec $(3)$ : \[ 7 - 3 \times \dfrac{26}{7} = \dfrac{49 - 78}{7} = -\dfrac{29}{7} \] \[ 11 - 4 \times \dfrac{16}{7} = \dfrac{77 - 64}{7} = \dfrac{13}{7} \] $-\dfrac{29}{7} \neq \dfrac{13}{7}$, donc le système n'a pas de solution. \[ \boxed{\text{Les deux avions ne peuvent pas entrer en collision.}} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 3.a.} Démontrer que l'avion Alpha passe par $E(-3\,;\,-1\,;\,1)$. $E \in d_A$ s'il existe $s \in \mathbb{R}$ tel que : \[ -7 + 2s = -3 \implies 2s = 4 \implies s = 2 \] $1 - s = -1 \implies s = 2$ \quad \checkmark $7 - 3s = 1 \implies s = 2$ \quad \checkmark Les trois équations sont vérifiées pour $s = 2$, donc $\boxed{E \in d_A}$. \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 3.b.} Justifier l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_E$. $\mathcal{P}_E$ est perpendiculaire à $d_A$, donc son vecteur normal est $\vec{n} = \vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$. $\mathcal{P}_E$ passe par $E(-3\,;\,-1\,;\,1)$. Une équation cartésienne est : \[ 2(x + 3) + (-1)(y + 1) + (-3)(z - 1) = 0 \] \[ 2x + 6 - y - 1 - 3z + 3 = 0 \] \[ 2x - y - 3z + 8 = 0 \] \[ \boxed{2x - y - 3z + 8 = 0} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 3.c.} Vérifier que $F(-1\,;\,-3\,;\,3)$ est le point d'intersection de $\mathcal{P}_E$ et $d_B$. \textbf{$F \in \mathcal{P}_E$ ?} $2(-1) - (-3) - 3(3) + 8 = -2 + 3 - 9 + 8 = 0$ \quad \checkmark \textbf{$F \in d_B$ ?} Cherchons $t$ tel que : \[ -11 + 5t = -1 \implies 5t = 10 \implies t = 2 \] $-5 + t = -3 \implies t = 2$ \quad \checkmark $11 - 4t = 3 \implies t = 2$ \quad \checkmark \[ \boxed{F \text{ est bien le point d'intersection de } \mathcal{P}_E \text{ et } d_B} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 3.d.} Distance $EF$. \[ \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} -1 - (-3) \\ -3 - (-1) \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \] \[ EF = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = \boxed{2\sqrt{3}} \] $2\sqrt{3} \approx 2 \times 1{,}7320508 \approx 3{,}46410\ \text{km}$. Or $1\ \text{km} = 1000\ \text{m}$, donc $EF \approx 3464{,}1\ \text{m} \approx \boxed{3464\ \text{m}}$ à $1$ m près. \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 4.} La distance de sécurité est-elle respectée ? La réglementation impose une distance minimale de $3$ milles nautiques. $1$ mille nautique $= 1852\ \text{m}$, donc $3$ milles nautiques $= 3 \times 1852 = \boxed{5556\ \text{m}}$. $EF = 3464\ \text{m} < 5556\ \text{m}$. \[ \boxed{\text{La distance de sécurité n'est PAS respectée.}} \]