Polynesie 2025 Jour 1 Exercice 1

\begin{center} \Large\textbf{Corrigé -- Polynésie 2025 J1 -- Exercice 1} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{Thème :} Probabilités -- Probabilités conditionnelles, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev \vspace{0.5cm} \section*{Partie A} \textbf{Question 1.} Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité. On a les données suivantes : \begin{itemize} \item $P(R) = 0{,}17$ (17\,\% vivent en zone rurale) \item $P(\overline{R}) = 0{,}83$ (83\,\% en zone urbaine) \item $P_R(A) = 0{,}062$ (6,2\,\% des ruraux sont allergiques) \end{itemize} L'arbre pondéré est le suivant : \[ \begin{array}{ll} R \quad (0{,}17) & \begin{cases} A \quad (0{,}062) \\ \overline{A} \quad (0{,}938) \end{cases} \\[8pt] \overline{R} \quad (0{,}83) & \begin{cases} A \quad (p) \\ \overline{A} \quad (1-p) \end{cases} \end{array} \] La valeur de $p = P_{\overline{R}}(A)$ sera déterminée à la question 2.c. \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 2.a.} Calculer la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire. On calcule $P(R \cap A)$ à l'aide de la formule des probabilités composées : \[ P(R \cap A) = P(R) \times P_R(A) = 0{,}17 \times 0{,}062 = \boxed{0{,}01054} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 2.b.} En déduire la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire. D'après la Partie B, on sait que 9\,\% des enfants sont atteints d'allergie alimentaire, donc $P(A) = 0{,}09$. D'après la formule des probabilités totales : \[ P(A) = P(R \cap A) + P(\overline{R} \cap A) \] D'où : \[ P(\overline{R} \cap A) = P(A) - P(R \cap A) = 0{,}09 - 0{,}01054 = \boxed{0{,}07946} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 2.c.} L'enfant interrogé habite en zone urbaine. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint d'allergie alimentaire ? Arrondir à $10^{-4}$. On cherche $P_{\overline{R}}(A)$ : \[ P_{\overline{R}}(A) = \frac{P(\overline{R} \cap A)}{P(\overline{R})} = \frac{0{,}07946}{0{,}83} \] \[ P_{\overline{R}}(A) = 0{,}0957349\ldots \] \[ \boxed{P_{\overline{R}}(A) \approx 0{,}0957} \] \newpage \section*{Partie B} On interroge $100$ enfants de façon indépendante. Chaque enfant a une probabilité $p = P(A) = 0{,}09$ d'être atteint d'allergie alimentaire. \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 1.} Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. On répète $n = 100$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Pour chaque épreuve, le succès «\,l'enfant est atteint d'allergie alimentaire\,» a pour probabilité $p = 0{,}09$. $X$ compte le nombre de succès sur ces $100$ épreuves. Donc : \[ \boxed{X \sim \mathcal{B}(100\,;\, 0{,}09)} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 2.} Probabilité qu'au moins 10 enfants soient atteints d'allergie alimentaire. Arrondir à $10^{-4}$. On cherche $P(X \geq 10)$ : \[ P(X \geq 10) = 1 - P(X \leq 9) = 1 - \sum_{k=0}^{9} \binom{100}{k} (0{,}09)^k (0{,}91)^{100-k} \] On utilise une approximation par la loi de Poisson de paramètre $\lambda = np = 9$ : $P(X \leq 9) \approx e^{-9}\sum_{k=0}^{9} \frac{9^k}{k!}$ On calcule : \[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{9} \frac{9^k}{k!} &= 1 + 9 + 40{,}5 + 121{,}5 + 273{,}375 + 492{,}075 \\ &\quad + 738{,}1125 + 949{,}0018 + 1067{,}6270 + 1067{,}6270 \\ &\approx 4759{,}82 \end{aligned} \] \[ P(X \leq 9) \approx 4759{,}82 \times e^{-9} \approx 4759{,}82 \times 0{,}00012341 \approx 0{,}5873 \] Donc : \[ P(X \geq 10) \approx 1 - 0{,}5873 = \boxed{0{,}4127} \] \newpage \section*{Partie C} Les variables $A_1, \ldots, A_{20}$ sont i.i.d. d'espérance $4$ et de variance $2{,}25$. \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 1.} Que représente $M_{20}$ ? $M_{20} = \frac{A_1 + \cdots + A_{20}}{20}$ est la \textbf{moyenne empirique} des âges d'apparition des premiers symptômes allergiques pour l'échantillon de $20$ enfants. C'est l'âge moyen d'apparition dans cet échantillon. \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 2.} Espérance et variance de $M_{20}$. Par linéarité de l'espérance : \[ E(M_{20}) = E\!\left(\frac{A_1 + \cdots + A_{20}}{20}\right) = \frac{1}{20} \times 20 \times 4 = \boxed{4} \] Par indépendance, pour la variance : \[ V(M_{20}) = V\!\left(\frac{A_1 + \cdots + A_{20}}{20}\right) = \frac{1}{20^2} \times 20 \times 2{,}25 = \frac{2{,}25}{20} = \boxed{0{,}1125} \] \vspace{0.3cm} \hrule \vspace{0.3cm} \textbf{Question 3.} Justifier que $P(2 < M_{20} < 6) > 0{,}97$. On applique l'\textbf{inégalité de Bienaymé-Tchebychev} à $M_{20}$ avec $\delta = 2$ : \[ P\!\left(|M_{20} - E(M_{20})| \geq 2\right) \leq \frac{V(M_{20})}{2^2} = \frac{0{,}1125}{4} = 0{,}028125 \] Par passage au complémentaire : \[ P\!\left(|M_{20} - 4| < 2\right) \geq 1 - 0{,}028125 \] \[ P\!\left(2 < M_{20} < 6\right) \geq 0{,}971875 > 0{,}97 \] \[ \boxed{P(2 < M_{20} < 6) > 0{,}97} \] \textbf{Interprétation :} La probabilité que l'âge moyen d'apparition des symptômes allergiques dans un échantillon de $20$ enfants soit compris entre $2$ et $6$ ans est supérieure à $97\,\%$. Autrement dit, il est quasi-certain que la moyenne d'âge dans l'échantillon se situe dans cet intervalle.