Polynesie 2023 Jour 2 Accessible Exercice 4

\begin{center} \Large\textbf{Corrigé -- Polynésie 2023 J2 (accessible) -- Exercice 4} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{Thème :} QCM -- Fonctions, équations différentielles, probabilités. \subsection*{Question 1} $f(x) = (x+1)e^x$. Primitive : on dérive les propositions. $F(x) = xe^x$ : $F'(x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x = f(x)$. \boxed{\text{Réponse b : } F(x) = xe^x} \subsection*{Question 2} $g(x) = \ln(x^2 + 1) - x$. \[ g'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - 1 = \frac{2x - (x^2+1)}{x^2+1} = -\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2+1} = -\frac{(x-1)^2}{x^2+1} \leqslant 0 \] Donc $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. \boxed{\text{Réponse c}} \subsection*{Question 3} $(E) : y' + 3y = 0$. Solutions : $y(x) = Ce^{-3x}$. $f(0) = 2 \iff C = 2$. $f(x) = 2e^{-3x}$. $f'(x) = -6e^{-3x}$, $f'(0) = -6$. \boxed{\text{Réponse a : } f'(0) = -6} \subsection*{Question 4} $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. $E(X) = np = 20 \times 0{,}3 = 6$. $P(X=6) = \binom{20}{6}(0{,}3)^6(0{,}7)^{14}$. La calculatrice donne $P(X=6) \approx 0{,}192$. Le mode de la loi $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$ est la valeur de $k$ maximisant $P(X=k)$. $k = \lfloor (n+1)p \rfloor = \lfloor 21 \times 0{,}3 \rfloor = \lfloor 6{,}3 \rfloor = 6$. \boxed{\text{Réponse d : l'espérance est } 6 \text{ et } P(X=6) \text{ est la plus grande probabilité}}