Polynesie 2023 Jour 2 Accessible Exercice 3

\begin{center} \Large\textbf{Corrigé -- Polynésie 2023 J2 (accessible) -- Exercice 3} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{Thème :} Géométrie dans l'espace. $A\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, $B\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, $D\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$, $E\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. $ABCDEFGH$ est un cube. $I$ milieu de $[AB]$, $J$ milieu de $[EH]$, $K$ centre de la face $BCGF$. \subsection*{1. Coordonnées} $I\begin{pmatrix}0{,}5\\0\\0\end{pmatrix}$, $J\begin{pmatrix}0\\0{,}5\\1\end{pmatrix}$. $K$ centre de $BCGF$ = milieu de $[BG]$ avec $B\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, $G\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ : \boxed{K\begin{pmatrix}1\\0{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}} \subsection*{2. Vecteurs coplanaires} \[ \overrightarrow{IJ} = \begin{pmatrix}-0{,}5\\0{,}5\\1\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{IK} = \begin{pmatrix}0{,}5\\0{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \] On cherche $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $\overrightarrow{AE} = a\overrightarrow{IJ} + b\overrightarrow{IK}$. \[ \begin{cases} 0 = -0{,}5a + 0{,}5b \\ 0 = 0{,}5a + 0{,}5b \\ 1 = a + 0{,}5b \end{cases} \] Des deux premières : $a = b$, puis $0{,}5a + 0{,}5a = a = 0$, contradiction. Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$, $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas coplanaires. \subsection*{3. a. $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ normal à $(IJK)$} \[ \vec{n} \cdot \overrightarrow{IJ} = 1 \times (-0{,}5) + (-1) \times 0{,}5 + 1 \times 1 = -1 + 1 = 0 \] \[ \vec{n} \cdot \overrightarrow{IK} = 1 \times 0{,}5 + (-1) \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}5 = 0{,}5 - 0{,}5 + 0{,}5 = 0{,}5 \neq 0 \] Attendez, vérifions... $\vec{n} \cdot \overrightarrow{IK} = 0{,}5 \neq 0$. Donc $\vec{n}$ n'est pas normal à $(IJK)$. Soit $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ normal à $(IJK)$ : \[ \begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{IJ} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{IK} = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} -0{,}5a + 0{,}5b + c = 0 \\ 0{,}5a + 0{,}5b + 0{,}5c = 0 \end{cases} \] En posant $a = 1$ : $0{,}5 + 0{,}5b + 0{,}5c = 0 \iff 1 + b + c = 0$ et $-0{,}5 + 0{,}5b + c = 0$. $b = -1 - c$, $-0{,}5 + 0{,}5(-1-c) + c = -1 + 0{,}5c = 0 \iff c = 2$, $b = -3$. \boxed{\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix} \text{ est normal à } (IJK)} \subsection*{3. b. Équation de $(IJK)$} $(IJK) : x - 3y + 2z + d = 0$. $I\begin{pmatrix}0{,}5\\0\\0\end{pmatrix} \in (IJK)$ : $0{,}5 + d = 0 \iff d = -0{,}5$. \boxed{(IJK) : x - 3y + 2z - 0{,}5 = 0 \iff 2x - 6y + 4z - 1 = 0} \subsection*{4. Intersection $(IJK) \cap (CDHG)$} Le plan $(CDHG)$ a pour équation $y = 1$ (face droite du cube). Intersection : $\begin{cases} x - 3 \times 1 + 2z - 0{,}5 = 0 \\ y = 1 \end{cases}$ $ x + 2z = 3{,}5$, $y = 1$. C'est une droite.