Corrigé – Polynésie 2023 J2 (accessible) – Exercice 1

Thème : Probabilités, suites.

Rn : « l’athlète franchit la haie lors de la n-ième séance ». pn = P(Rn), p0 = 0,6.

PRn(Rn+1) = 0,9, PR n(Rn+1) = 0,7.

1. Arbre pondéré

{ Rn+1 (0,9) Rn (pn) -- {Rn+1 (0,1) -- Rn+1 (0,3) Rn (1 − pn) -- Rn+1 (0,7)

2. Relation pn+1 = 0,6 pn + 0,3

D’après la formule des probabilités totales :

p = p × 0,9 + (1 − p ) × 0,3 n+1 n n

p = 0,9p + 0,3 − 0,3p = 0,6 p + 0,3 n+1 n n n

3. Suite (qn) avec qn = pn − 0,75

qn+1 = pn+1 − 0,75 = 0,6 pn + 0,3 − 0,75

qn+1 = 0,6pn − 0,45 = 0,6 (pn − 0,75) = 0,6qn

(qn) est géométrique de raison 0,6 et q0 = p0 − 0,75 = −0,15.

qn = q0 × 0,6n = −0,15 × 0,6n.

4. Expression de pn

pn = qn + 0,75.

pn = 0,75 − 0,15 × 0,6n

5. Limite

0 < 0,6 < 1, donc lim n→+∞0,6n = 0.

lim n→+∞pn = 0,75

6. Loi binomiale

Il s’agit de la répétition de 10 épreuves aléatoires, identiques et indépendantes à deux issues dont le succès est « l’athlète franchit la haie » de probabilité p10. X ∼ℬ(10 ; p10).

p10 = 0,75 − 0,15 × 0,610 ≈ 0,749.

P (X ≥ 9) = P (X = 9) + P (X = 10)

( ) ( ) 10 9 10 10 P (X ≥ 9) = 9 p10(1 − p10) + 10 p10

La calculatrice donne P(X ≥ 9) ≈ 0,196.