Thème : Vrai/Faux – Géométrie dans l’espace.

Points : \(A(2\,;\,0\,;\,0)\), \(B(0\,;\,4\,;\,3)\), \(C(4\,;\,4\,;\,1)\), \(D(0\,;\,0\,;\,4)\), \(H(-1\,;\,1\,;\,2)\).

Affirmation 1 : \((ACD)\) a pour équation \(8x - 5y + 4z - 16 = 0\).

Vérifions que \(A\), \(C\), \(D\) vérifient cette équation.

Pour \(A(2\,;\,0\,;\,0)\) : \[8 \times 2 - 5 \times 0 + 4 \times 0 - 16\] \[8 \times 2 - 5 \times 0 + 4 \times 0 - 16 = 16 - 0 + 0 - 16\] \[8 \times 2 - 5 \times 0 + 4 \times 0 - 16 = 0\]

Pour \(C(4\,;\,4\,;\,1)\) : \[8 \times 4 - 5 \times 4 + 4 \times 1 - 16\] \[8 \times 4 - 5 \times 4 + 4 \times 1 - 16 = 32 - 20 + 4 - 16\] \[8 \times 4 - 5 \times 4 + 4 \times 1 - 16 = 0\]

Pour \(D(0\,;\,0\,;\,4)\) : \[8 \times 0 - 5 \times 0 + 4 \times 4 - 16\] \[8 \times 0 - 5 \times 0 + 4 \times 4 - 16 = 0 + 0 + 16 - 16\] \[8 \times 0 - 5 \times 0 + 4 \times 4 - 16 = 0\]

Les trois points vérifient l’équation et ne sont pas alignés (vérification ci-dessous).

\[\boxed{\textbf{Affirmation 1 : VRAIE}}\]

Affirmation 2 : \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires.

Vérifions si \(B\) appartient au plan \(8x - 5y + 4z - 16 = 0\) : \[8 \times 0 - 5 \times 4 + 4 \times 3 - 16\] \[8 \times 0 - 5 \times 4 + 4 \times 3 - 16 = 0 - 20 + 12 - 16\] \[8 \times 0 - 5 \times 4 + 4 \times 3 - 16 = -24 \neq 0\]

\(B\) n’appartient pas au plan \((ACD)\), donc \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ne sont pas coplanaires.

\[\boxed{\textbf{Affirmation 2 : FAUSSE}}\]

Affirmation 3 : Les droites \((AC)\) et \((BH)\) sont sécantes.

\(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-2\\4-0\\1-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}\).

\(\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1-0\\1-4\\2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-3\\-1\end{pmatrix}\).

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car \(\frac{2}{-1} \neq \frac{4}{-3}\).

Représentation paramétrique de \((AC)\) : \[(AC) : \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 4t \\ z = t \end{cases}, \; t \in \mathbb{R}\]

Représentation paramétrique de \((BH)\) : \[(BH) : \begin{cases} x = -s \\ y = 4 - 3s \\ z = 3 - s \end{cases}, \; s \in \mathbb{R}\]

Intersection éventuelle : \[\begin{cases} 2 + 2t = -s \\ 4t = 4 - 3s \\ t = 3 - s \end{cases}\]

De \(t = 3 - s\) et \(2 + 2t = -s\) : \[2 + 2(3-s) = -s\] \[2 + 6 - 2s = -s\] \[8 = s\]

Alors \(t = 3 - 8 = -5\).

Vérification : \(4t = 4 - 3s\) \[4 \times (-5) = -20\] \[4 - 3 \times 8 = 4 - 24 = -20\]

Le système a une solution \((t, s) = (-5, 8)\), donc les droites sont sécantes.

\[\boxed{\textbf{Affirmation 3 : VRAIE}}\]

Affirmation 4 : \(H\) est le projeté orthogonal de \(D\) sur \((ABC)\).

On admet que \((ABC) : x - y + 2z - 2 = 0\).

Vérifions si \(\overrightarrow{DH}\) est colinéaire au vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\).

\[\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}-1-0\\1-0\\2-4\end{pmatrix}\] \[\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\]

\(\overrightarrow{DH} = -1 \times \vec{n}\), donc \(\overrightarrow{DH}\) est colinéaire au vecteur normal.

Vérifions que \(H \in (ABC)\) : \[-1 - 1 + 2 \times 2 - 2\] \[-1 - 1 + 2 \times 2 - 2 = -2 + 4 - 2\] \[-1 - 1 + 2 \times 2 - 2 = 0\]

\(H\) appartient à \((ABC)\) et \(\overrightarrow{DH}\) est colinéaire au vecteur normal. Donc \(H\) est bien le projeté orthogonal de \(D\) sur \((ABC)\).

\[\boxed{\textbf{Affirmation 4 : VRAIE}}\]