Corrigé – Métropole 2024 J2 – Exercice 3
Thème : Fonctions, logarithme, convexité, optimisation de distance.
\(f\) est définie et deux fois dérivable sur \(]-2\,;\,+\infty[\).
Question 1. \(f(-1)\) et \(f'(-1)\).
D’après le graphique, le point \(B\) d’abscisse \(-1\) est sur la courbe \(\mathcal{C}_f\). On lit \(f(-1) = -2\).
La tangente \(T\) en \(B\) passe par \(A(0\,;\,-1)\) et \(B(-1\,;\,-2)\).
\[f'(-1) = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B}\] \[f'(-1) = \frac{-1 - (-2)}{0 - (-1)}\] \[f'(-1) = \frac{1}{1}\] \[\boxed{f(-1) = -2,\quad f'(-1) = 1}\]
Question 2. Convexité de \(\mathcal{C}_f\).
D’après le graphique, la courbe semble traverser sa tangente (point d’inflexion visible), donc \(f\) n’est ni convexe ni concave sur tout \(]-2\,;\,+\infty[\).
\[\boxed{\mathcal{C}_f \text{ n'est pas convexe sur tout son ensemble de définition.}}\]
Question 3. Solutions de \(f(x) = 0\) et valeur approchée.
La courbe coupe l’axe des abscisses en deux points (apparence), donc 2 solutions. Une valeur approchée d’une solution est environ \(0{,}2\) (lecture graphique).
Question 1. \(\lim_{x \to -2^+} f(x)\).
\[\lim_{x \to -2^+} (x^2 + 2x - 1)\] \[\lim_{x \to -2^+} (x^2 + 2x - 1) = 4 - 4 - 1 = -1\]
\[\lim_{x \to -2^+} \ln(x+2) = \lim_{u \to 0^+} \ln u = -\infty\]
Donc : \[\boxed{\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty}\]
La droite \(x = -2\) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\).
On admet \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
Question 2. \(f'(x) = \dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}\).
\[f'(x) = 2x + 2 + \frac{1}{x+2}\] \[f'(x) = \frac{(2x+2)(x+2) + 1}{x+2}\] \[f'(x) = \frac{2x^2 + 4x + 2x + 4 + 1}{x+2}\] \[\boxed{f'(x) = \dfrac{2x^2 + 6x + 5}{x+2}}\]
Question 3. Variations de \(f\).
Sur \(]-2\,;\,+\infty[\), \(x+2 > 0\). Le signe de \(f'\) est celui de \(2x^2+6x+5\).
\(\Delta = 36 - 40 = -4 < 0\), et le coefficient de \(x^2\) est \(2 > 0\).
Donc \(2x^2+6x+5 > 0\) pour tout \(x\), d’où \(f'(x) > 0\) sur \(]-2\,;\,+\infty[\).
\(f\) est strictement croissante sur \(]-2\,;\,+\infty[\).
Question 4. \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\).
\(f\) est continue et strictement croissante sur \(]-2\,;\,+\infty[\). \(\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
\(0 \in ]-\infty\,;\,+\infty[\), donc \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\).
À la calculatrice : \[f(0) = -1 + \ln 2 \approx -0{,}307 < 0\] \[f(0{,}3) \approx 0{,}09 + 0{,}69 - 1 + \ln(2{,}3) \approx -0{,}22 + 0{,}833 \approx 0{,}613 > 0\]
Plus précisément : \[f(0{,}22) \approx 0{,}0484 + 0{,}44 - 1 + \ln(2{,}22) \approx -0{,}5116 + 0{,}7975 \approx 0{,}286 > 0\] \[f(0{,}21) \approx -0{,}5159 + 0{,}7930 \approx 0{,}277 > 0\] \[f(0{,}23) \approx -0{,}5071 + 0{,}8020 \approx 0{,}295\]
En affinant : \[f(0{,}12) \approx -1 + 0{,}24 + 0{,}0144 + \ln(2{,}12) \approx -0{,}7456 + 0{,}7514 \approx 0{,}006\]
\[\boxed{\alpha \approx 0{,}12 \text{ (à } 10^{-2} \text{ près)}}\]
Question 5. Signe de \(f(x)\).
\(f\) strictement croissante, \(f(\alpha) = 0\), donc :
\(f(x) < 0\) pour \(x \in ]-2\,;\,\alpha[\)
\(f(x) > 0\) pour \(x \in ]\alpha\,;\,+\infty[\)
Question 6. Point d’inflexion.
\(f''(x) = 2 - \dfrac{1}{(x+2)^2}\).
\[f''(x) = 0\] \[\iff 2 = \frac{1}{(x+2)^2}\] \[\iff (x+2)^2 = \frac{1}{2}\] \[\iff x+2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad (\text{car } x+2 > 0)\] \[\iff x = \frac{1}{\sqrt{2}} - 2\]
\[\boxed{\text{Abscisse du point d'inflexion : } x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} - 2 \approx -1{,}293}\]
\(g(x) = \ln(x+2)\) sur \(]-2\,;\,+\infty[\). \(\mathcal{C}_g\) dans un repère orthonormé \((O\,;\,I,\,J)\). \(M\) est un point de \(\mathcal{C}_g\) d’abscisse \(x\). \(\ell(x) = JM^2\).
Question 1. \(\ell(x) = x^2 + [\ln(x+2)-1]^2\).
\(J(0\,;\,1)\) et \(M(x\,;\,\ln(x+2))\).
\[JM^2 = (x-0)^2 + (\ln(x+2) - 1)^2\] \[\boxed{\ell(x) = x^2 + [\ln(x+2) - 1]^2}\]
Question 2. On admet \(\ell'(x) = \dfrac{2f(x)}{x+2}\).
Tableau de variations de \(\ell\).
Sur \(]-2\,;\,+\infty[\), \(x+2 > 0\), donc \(\ell'(x)\) a le signe de \(f(x)\).
La distance \(JM\) est minimale en \(x = \alpha\).
\(JM = \sqrt{\ell(x)}\). La fonction racine carrée est strictement croissante, donc \(JM\) est minimale là où \(\ell\) est minimale, c’est-à-dire en \(x = \alpha\).
\[\boxed{JM \text{ est minimale en } x = \alpha.}\]
Question 3. \(M_\alpha\) est le point de \(\mathcal{C}_g\) d’abscisse \(\alpha\).
Montrer que \(\ln(\alpha+2) = 1 - 2\alpha - \alpha^2\).
\(f(\alpha) = 0\) : \[\alpha^2 + 2\alpha - 1 + \ln(\alpha+2) = 0\] \[\ln(\alpha+2) = 1 - 2\alpha - \alpha^2\] \[\boxed{\ln(\alpha+2) = 1 - 2\alpha - \alpha^2}\]
Tangente à \(\mathcal{C}_g\) en \(M_\alpha\) et \((JM_\alpha)\) sont perpendiculaires.
La tangente à \(\mathcal{C}_g\) en \(M_\alpha\) a pour coefficient directeur : \[g'(\alpha) = \frac{1}{\alpha+2}\]
La droite \((JM_\alpha)\) a pour coefficient directeur : \[m = \frac{\ln(\alpha+2) - 1}{\alpha - 0}\] \[m = \frac{(1 - 2\alpha - \alpha^2) - 1}{\alpha}\] \[m = \frac{-2\alpha - \alpha^2}{\alpha}\] \[m = -2 - \alpha\]
Produit des coefficients directeurs : \[g'(\alpha) \times m\] \[g'(\alpha) \times m = \frac{1}{\alpha+2} \times (-2-\alpha)\] \[g'(\alpha) \times m = \frac{-(2+\alpha)}{\alpha+2}\] \[g'(\alpha) \times m = -1\]
\[\boxed{\text{La tangente et } (JM_\alpha) \text{ sont perpendiculaires.}}\]