Corrigé – Métropole 2024 J2 – Exercice 2
Thème : Suites, équations différentielles – Modélisation discrète et continue du taux de chlore.
Piscine de 50 m\(^3\). Taux de chlore en mg.L\(^{-1}\).
Question 1. Justifier que l’ajout de 15 g de chlore augmente le taux de 0,3 mg.L\(^{-1}\).
15 g = 15000 mg dans 50 m\(^3\) = 50000 L.
Augmentation du taux : \[\frac{15000}{50000}\] \[\frac{15000}{50000} = 0{,}3 \text{ mg.L}^{-1}\]
\[\boxed{\text{L'ajout de 15 g fait augmenter le taux de } 0{,}3 \text{ mg.L}^{-1}.}\]
Question 2. \(v_0 = 0{,}7\) et \(v_{n+1} = 0{,}92v_n + 0{,}3\).
Montrer par récurrence que \(v_n \leq v_{n+1} \leq 4\).
Initialisation : \(v_0 = 0{,}7\), \(v_1 = 0{,}92 \times 0{,}7 + 0{,}3 = 0{,}944\). On a \(v_0 \leq v_1 \leq 4\). La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Soit \(k \in \mathbb{N}\). Supposons \(v_k \leq v_{k+1} \leq 4\).
La fonction \(f(x) = 0{,}92x + 0{,}3\) est affine croissante (coefficient \(0{,}92 > 0\)).
Donc \(f(v_k) \leq f(v_{k+1}) \leq f(4)\). \[v_{k+1} \leq v_{k+2} \leq 0{,}92 \times 4 + 0{,}3\] \[v_{k+1} \leq v_{k+2} \leq 3{,}68 + 0{,}3\] \[v_{k+1} \leq v_{k+2} \leq 3{,}98 \leq 4\]
La propriété est vraie au rang \(k+1\).
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(v_n \leq v_{n+1} \leq 4\).
\[\boxed{\text{Pour tout } n \in \mathbb{N},\; v_n \leq v_{n+1} \leq 4.}\]
Convergence et limite.
La suite \((v_n)\) est croissante et majorée par 4, donc elle converge.
Soit \(\ell = \lim_{n \to +\infty} v_n\). La fonction \(f\) est continue, donc : \[\ell = 0{,}92\ell + 0{,}3\] \[\ell - 0{,}92\ell = 0{,}3\] \[0{,}08\ell = 0{,}3\] \[\ell = \frac{0{,}3}{0{,}08}\] \[\boxed{\lim_{n \to +\infty} v_n = 3{,}75}\]
Question 3. Conformité à long terme.
La limite est 3,75 mg.L\(^{-1}\), ce qui est supérieur à 3 mg.L\(^{-1}\) (borne supérieure préconisée).
\[\boxed{\text{Non, le taux (3,75) dépasse la préconisation maximale de 3 mg.L}^{-1}.}\]
Question 4. Algorithme Python
alerte_chlore(s).
def alerte_chlore(s):
n = 0
v = 0.7
while v <= s:
n = n + 1
v = 0.92 * v + 0.3
return nQuestion 5. alerte_chlore(3).
On calcule les termes successifs :
\(v_0 = 0{,}7\)
\(v_1 = 0{,}944\)
\(v_2 \approx 1{,}168\)
\(v_3 \approx 1{,}375\)
\(v_4 \approx 1{,}565\)
\(v_5 \approx 1{,}740\)
\(v_6 \approx 1{,}901\)
\(v_7 \approx 2{,}049\)
\(v_8 \approx 2{,}185\)
\(v_9 \approx 2{,}310\)
\(v_{10} \approx 2{,}425\)
\(v_{11} \approx 2{,}531\)
\(v_{12} \approx 2{,}629\)
\(v_{13} \approx 2{,}718\)
\(v_{14} \approx 2{,}801\)
\(v_{15} \approx 2{,}877\)
\(v_{16} \approx 2{,}947\)
\(v_{17} \approx 3{,}011 > 3\)
\[\boxed{\texttt{alerte\_chlore(3)} \text{ renvoie } 17}\]
Interprétation : il faut 17 jours pour que le taux de chlore dépasse 3 mg.L\(^{-1}\).
\(f\) est solution de \((E) : y' = -0{,}08y + \frac{q}{50}\).
Question 1. Forme de \(f\).
\((E)\) est de la forme \(y' = ay + b\) avec \(a = -0{,}08\) et \(b = \frac{q}{50}\).
Les solutions sont : \[f(x) = C e^{-0{,}08x} - \frac{b}{a}\] \[f(x) = C e^{-0{,}08x} - \frac{q/50}{-0{,}08}\] \[f(x) = C e^{-0{,}08x} + \frac{q}{4}\]
\[\boxed{f(x) = C e^{-0{,}08x} + \dfrac{q}{4}}\]
Question 2.
\(\lim_{x \to +\infty} f(x)\) en fonction de \(q\).
\[\lim_{x \to +\infty} C e^{-0{,}08x} = 0\]
Donc : \[\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = \dfrac{q}{4}}\]
Déterminer \(C\) et \(q\) pour \(f(0) = 0{,}7\) et \(\lim_{+\infty} f = 2\).
Condition 1 : \(\frac{q}{4} = 2\) donc \(q = 8\).
Condition 2 : \(f(0) = C + \frac{q}{4} = 0{,}7\). \[C + 2 = 0{,}7\] \[C = -1{,}3\]
\[\boxed{q = 8 \text{ g}}\] \[\boxed{C = -1{,}3}\]
Ainsi \(f(x) = -1{,}3 e^{-0{,}08x} + 2\).