Corrigé – Métropole 2024 J2 – Exercice 1
Thème : Probabilités conditionnelles, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
\(R\) : « l’étudiant a réussi l’examen », \(Q\) : « a répondu oui ». \(P(Q) = 0{,}917\), \(P_{\overline{R}}(\overline{Q}) = 0{,}65\), \(P_R(Q) = 0{,}98\).
Question 1. \(P(Q)\) et \(P_{\overline{R}}(\overline{Q})\).
\[\boxed{P(Q) = 0{,}917}\] \[\boxed{P_{\overline{R}}(\overline{Q}) = 0{,}65}\]
Donc \(P_{\overline{R}}(Q) = 1 - 0{,}65 = 0{,}35\).
Question 2. On note \(x = P(R)\).
Arbre pondéré.
\[\begin{array}{ll} R \;(x) & \begin{cases} Q \;(0{,}98) \\ \overline{Q} \;(0{,}02) \end{cases} \\[10pt] \overline{R} \;(1-x) & \begin{cases} Q \;(0{,}35) \\ \overline{Q} \;(0{,}65) \end{cases} \end{array}\]
Montrer que \(x = 0{,}9\).
D’après la formule des probabilités totales : \[P(Q) = P(R \cap Q) + P(\overline{R} \cap Q)\] \[P(Q) = P(R) \times P_R(Q) + P(\overline{R}) \times P_{\overline{R}}(Q)\] \[0{,}917 = x \times 0{,}98 + (1-x) \times 0{,}35\] \[0{,}917 = 0{,}98x + 0{,}35 - 0{,}35x\] \[0{,}917 = 0{,}63x + 0{,}35\] \[0{,}63x = 0{,}567\] \[x = \frac{0{,}567}{0{,}63}\] \[\boxed{x = 0{,}9}\]
Question 3. \(P_Q(R)\).
\[P_Q(R) = \frac{P(R \cap Q)}{P(Q)}\] \[P_Q(R) = \frac{0{,}9 \times 0{,}98}{0{,}917}\] \[P_Q(R) = \frac{0{,}882}{0{,}917}\] \[\boxed{P_Q(R) \approx 0{,}962 \text{ (à } 10^{-3} \text{ près)}}\]
Question 4. \(N \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}615)\). Note seuil pour 65% récompensés.
On cherche le plus petit entier \(k\) tel que \(P(N \geq k) \leq 0{,}65\), ou de façon équivalente \(P(N \leq k-1) \geq 0{,}35\).
\[P(N \geq k) = 1 - P(N \leq k-1)\]
On cherche \(k\) tel que \(P(N \geq k) \approx 0{,}65\).
Avec la calculatrice, \(P(N \geq 12) \approx 1 - P(N \leq 11)\). \(P(N \leq 11) \approx 0{,}296\) donc \(P(N \geq 12) \approx 0{,}704\). \(P(N \leq 12) \approx 0{,}442\) donc \(P(N \geq 13) \approx 0{,}558\).
Pour avoir 65% récompensés, il faut \(P(N \geq k) \approx 0{,}65\). \(P(N \geq 12) \approx 0{,}704 > 0{,}65\) et \(P(N \geq 13) \approx 0{,}558 < 0{,}65\).
\[\boxed{k = 12 \text{ (environ } 70\% \text{ des étudiants ont } \geq 12)}\]
Note : à partir de 12, environ 70% sont récompensés, ce qui est le plus proche de 65%.
Question 5. \(S = N_1 + N_2 + \cdots + N_{10}\).
Chaque \(N_i \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}615)\). Par indépendance et linéarité : \[E(S) = 10 \times E(N_1)\] \[E(S) = 10 \times 20 \times 0{,}615\] \[\boxed{E(S) = 123}\]
\[V(S) = 10 \times V(N_1) \quad (\text{par indépendance})\] \[V(S) = 10 \times 20 \times 0{,}615 \times 0{,}385\] \[V(S) = 10 \times 4{,}7355\] \[\boxed{V(S) = 47{,}355}\]
Question 6. \(M = \frac{S}{10}\).
\(M\) modélise la moyenne des notes des 10 étudiants.
\[\boxed{M \text{ est la note moyenne des 10 étudiants.}}\]
\(E(M) = 12{,}3\) et \(V(M) = 0{,}47355\).
\[E(M) = \frac{E(S)}{10}\] \[E(M) = \frac{123}{10}\] \[\boxed{E(M) = 12{,}3}\]
\[V(M) = \frac{V(S)}{10^2}\] \[V(M) = \frac{47{,}355}{100}\] \[\boxed{V(M) = 0{,}47355}\]
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
On veut montrer \(P(10{,}3 < M < 14{,}3) \geq 0{,}8\).
\(E(M) = 12{,}3\). L’intervalle \(]10{,}3\,;\,14{,}3[\) est \(]E(M)-2\,;\,E(M)+2[\).
\[P(10{,}3 < M < 14{,}3)\] \[P(10{,}3 < M < 14{,}3) = P(|M - E(M)| < 2)\] \[P(10{,}3 < M < 14{,}3) = 1 - P(|M - E(M)| \geq 2)\]
D’après Bienaymé-Tchebychev : \[P(|M - E(M)| \geq 2) \leq \frac{V(M)}{2^2}\] \[P(|M - E(M)| \geq 2) \leq \frac{0{,}47355}{4}\] \[P(|M - E(M)| \geq 2) \leq 0{,}1183875\]
Donc : \[P(|M - E(M)| < 2) \geq 1 - 0{,}1183875\] \[P(|M - E(M)| < 2) \geq 0{,}8816125\]
Or \(0{,}8816 > 0{,}8\).
\[\boxed{P(10{,}3 < M < 14{,}3) \geq 0{,}8}\]
L’affirmation est justifiée.