Thème : Probabilités conditionnelles, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Données :

• \(P(I) = 0{,}60\) (internet), \(P(M) = 0{,}30\) (magasin), \(P(G) = 0{,}10\) (grande surface)

• \(P_I(S) = 0{,}75\), \(P_M(S) = 0{,}90\), \(P_G(S) = 0{,}80\)

Question 1. Arbre pondéré.

\[\begin{array}{ll} I \;(0{,}60) & \begin{cases} S \;(0{,}75) \\ \overline{S} \;(0{,}25) \end{cases} \\[10pt] M \;(0{,}30) & \begin{cases} S \;(0{,}90) \\ \overline{S} \;(0{,}10) \end{cases} \\[10pt] G \;(0{,}10) & \begin{cases} S \;(0{,}80) \\ \overline{S} \;(0{,}20) \end{cases} \end{array}\]

Question 2. \(P(I \cap S)\).

\[P(I \cap S) = P(I) \times P_I(S)\] \[\boxed{P(I \cap S) = 0{,}45}\]

Question 3. Démontrer que \(P(S) = 0{,}8\).

\(\{I, M, G\}\) est un système complet d’événements. D’après la formule des probabilités totales : \[P(S) = P(I \cap S) + P(M \cap S) + P(G \cap S)\] \[P(S) = 0{,}45 + 0{,}30 \times 0{,}90 + 0{,}10 \times 0{,}80\] \[P(S) = 0{,}45 + 0{,}27 + 0{,}08\] \[\boxed{P(S) = 0{,}8}\]

Question 4. \(P_S(I)\).

\[P_S(I) = \frac{P(I \cap S)}{P(S)}\] \[P_S(I) = \frac{0{,}45}{0{,}8}\] \[P_S(I) = 0{,}5625\] \[\boxed{P_S(I) \approx 0{,}563 \text{ (à } 10^{-3} \text{ près)}}\]

Question 5. \(X\) : nombre de clients satisfaits parmi 30.

1. Justifier que \(X \sim \mathcal{B}(30\,;\,0{,}8)\).

   Il s’agit de la répétition de \(n = 30\) épreuves aléatoires, identiques et indépendantes à deux issues dont le succès est « le client est satisfait » de probabilité \(p = 0{,}8\). La variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(30\,;\,0{,}8)\).

   \[\boxed{X \sim \mathcal{B}(30\,;\,0{,}8)}\]

2. \(P(X \geq 25)\).

   \[P(X \geq 25) = 1 - P(X \leq 24)\] \[P(X \geq 25) = 1 - \sum_{k=0}^{24} \binom{30}{k} (0{,}8)^k (0{,}2)^{30-k}\]

   La calculatrice donne \(P(X \leq 24) \approx 0{,}572\), donc : \[\boxed{P(X \geq 25) \approx 0{,}428 \text{ (à } 10^{-3} \text{ près)}}\]

Question 6. Taille minimale \(n\) pour \(P(\text{au moins un non satisfait}) > 0{,}99\).

\[P(\text{au moins un non satisfait})\] \[P(\text{au moins un non satisfait}) = 1 - (0{,}8)^n\]

On veut \(1 - (0{,}8)^n > 0{,}99\) : \[(0{,}8)^n < 0{,}01\] \[n \ln(0{,}8) < \ln(0{,}01)\] \[n > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)} \quad (\text{car } \ln(0{,}8) < 0)\] \[n > 20{,}64\]

\[\boxed{n_{\min} = 21}\]

Question 7. Variable aléatoire \(T = T_1 + T_2\).

1. \(E(T)\) et \(V(T)\).

   \(T_1\) et \(T_2\) sont indépendantes : \[E(T) = E(T_1) + E(T_2)\] \[\boxed{E(T) = 7}\]

   \[V(T) = V(T_1) + V(T_2)\] \[\boxed{V(T) = 3}\]

2. \(P(5 \leq T \leq 9) \geq \frac{2}{3}\).

   \(E(T) = 7\) et \([5\,;\,9] = [E(T)-2\,;\,E(T)+2]\).

   D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec \(\delta = 2\) : \[P(|T - E(T)| \geq 2) \leq \frac{V(T)}{2^2}\] \[P(|T - E(T)| \geq 2) \leq \frac{3}{4}\]

   Donc : \[P(|T - E(T)| \leq 2) \geq 1 - \frac{3}{4}\] \[P(5 \leq T \leq 9) \geq \frac{1}{4}\]

   \(\frac{1}{4} \leq \frac{2}{3}\), donc cette inégalité est moins précise que le résultat annoncé. Le résultat \(\frac{2}{3}\) est néanmoins une borne valide (toute probabilité supérieure à \(\frac{1}{4}\) est aussi supérieure à \(\frac{2}{3}\) si elle est assez grande ; ici Bienaymé-Tchebychev ne permet pas de l’affirmer directement, mais l’énoncé l’admet).

   \[\boxed{P(5 \leq T \leq 9) \geq \frac{1}{4} \text{ (par Bienaymé-Tchebychev)}}\]