Corrigé – Métropole 2024 J1 – Exercice 1
Thème : Vrai/Faux – Fonctions, équation différentielle, suites, convergence.
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 5x e^{-x}\).
Affirmation 1 : L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\).
En \(+\infty\) : par croissance comparée, \(\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0\), donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\).
En \(-\infty\) : \(\lim_{x \to -\infty} 5x = -\infty\) et \(\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty\), donc \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
L’axe des abscisses (\(y = 0\)) est asymptote horizontale en \(+\infty\) seulement, pas en \(-\infty\). L’affirmation dit « une asymptote horizontale » sans préciser le côté. L’axe des abscisses est bien une asymptote horizontale (en \(+\infty\)).
\[\boxed{\textbf{Affirmation 1 : VRAIE}}\]
Affirmation 2 : \(f\) est solution de \((E) : y' + y = 5e^{-x}\).
\(f'(x) = 5e^{-x} + 5x(-e^{-x}) = 5e^{-x} - 5x e^{-x}\).
\[f'(x) + f(x)\] \[f'(x) + f(x) = (5e^{-x} - 5x e^{-x}) + (5x e^{-x})\] \[f'(x) + f(x) = 5e^{-x}\]
Donc \(f\) vérifie bien \(y' + y = 5e^{-x}\).
\[\boxed{\textbf{Affirmation 2 : VRAIE}}\]
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq v_n \leq w_n\). \(\lim_{n \to +\infty} u_n = -1\) et \(\lim_{n \to +\infty} w_n = 1\).
Affirmation 3 : \((v_n)\) converge vers \(\ell \in [-1\,;\,1]\).
D’après le théorème des gendarmes (ou d’encadrement), si \(u_n \leq v_n \leq w_n\) et que \((u_n)\) et \((w_n)\) convergent vers la même limite, alors \((v_n)\) converge aussi vers cette limite.
Mais ici \(\lim u_n = -1\) et \(\lim w_n = 1\) qui sont différentes. On ne peut pas conclure que \((v_n)\) converge. Par exemple, \(v_n = (-1)^n\) vérifie \(-1 \leq v_n \leq 1\) mais ne converge pas.
\[\boxed{\textbf{Affirmation 3 : FAUSSE}}\]
Affirmation 4 : Si \((u_n)\) est croissante et \((w_n)\) décroissante, alors \(u_0 \leq v_n \leq w_0\) pour tout \(n\).
\((u_n)\) croissante donc \(u_0 \leq u_n\) pour tout \(n\). \((w_n)\) décroissante donc \(w_n \leq w_0\) pour tout \(n\).
On a \(u_n \leq v_n \leq w_n\) pour tout \(n\), donc : \[u_0 \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq w_0\]
D’où \(u_0 \leq v_n \leq w_0\) pour tout \(n\).
\[\boxed{\textbf{Affirmation 4 : VRAIE}}\]