Thème : Fonctions, logarithme, convexité.

f(x) = ln(1 + e^−x) définie sur ℝ.

1. a. Limite en −∞

Donc lim _x→−∞e^−x = +∞.

lim _x→−∞f(x) = +∞

1. b. Limite en +∞

lim _x→+∞f(x) = ln 1 = 0

La droite y = 0 est asymptote horizontale en +∞.

1. c. Dérivée

f = ln ∘u avec u(x) = 1 + e^−x, u′(x) = −e^−x.

f′(x) = − = −

1. d. Variations

Pour tout x ∈ ℝ, 1 + e^x > 0 et −1 < 0, donc f′(x) < 0.

f est strictement décroissante sur ℝ.

2. a. Tangente T₀ au point d’abscisse 0

f′(0) = − = −, f(0) = ln(1 + e⁰) = ln 2.

T₀ : y = f′(0)(x − 0) + f(0).

y = −x + ln 2

2. b. Convexité

f′ est dérivable sur ℝ :

Pour tout x ∈ ℝ, e^x > 0 et (1 + e^x)² > 0, donc f′′(x) > 0.

f est convexe sur ℝ.

2. c. Position relative

f convexe donc 𝒞 est au-dessus de ses tangentes, en particulier T₀ :

f(x) ≥−x + ln 2 (∀x ∈ ℝ)

3. a. Relation f(x) − f(−x)

f(x) − f(−x) = −x

3. b. Parallélisme de T₀ et (M_aN_a)

M_a , N_a .

Coefficient directeur de (M_aN_a) :

Les droites T₀ et (M_aN_a) ont même coefficient directeur. Elles sont parallèles.