Corrigé – Métropole 2023 J2 (accessible) – Exercice 3

Thème : Géométrie dans l’espace.

A( ) 1 ( 1) 1 .

1. a. Vecteur normal à P1

P1 : 2x + y − z + 2 = 0.

⃗n1( ) 2 ( 1 ) − 1

1. b. Plans perpendiculaires

P2 : x − y + z − 2 = 0 a pour vecteur normal ⃗n2( ) 1 ( − 1) 1 .

⃗n1 ⋅⃗n2 = 2 × 1 + 1 × (− 1) + (− 1) × 1 = 2 − 1 − 1 = 0

Les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc P1 ⊥ P2.

2. a. Équation de P2 avec B ∈ P2

P2 : x − y + z + d = 0, B( ) 1 ( 1) 2 ∈ P2 : 1 − 1 + 2 + d = 0 ⟺ d = −2.

P2 : x − y + z − 2 = 0

2. b. Droite Δ d’intersection

Δ : (| { x = 0 y = − 2 + t |( z = t , t ∈ ℝ.

Pour tout t : 2 × 0 + (−2 + t) − t + 2 = 0 (dans P1)

Pour tout t : 0 − (−2 + t) + t − 2 = 0 (dans P2)

Δ est incluse dans P1 et P2, donc Δ = P1 ∩ P2.

3. a. Distance AMt

Mt( ) 0 ( − 2 + t) t .

( ) −−→ − 1 AMt = ( t − 3) t − 1

AM 2t = 1 + (t − 3)2 + (t − 1)2 = 2t2 − 8t + 11

3. b. Distance minimale AH

Soit f(t) = 2t2 − 8t + 11, polynôme du second degré avec a = 2 > 0.

Minimum en t = −b- 2a = 8 4 = 2, f(2) = 2 × 4 − 16 + 11 = 3.

AH2 = 3

AH = √ -- 3

4. a. Droite D1 orthogonale à P1 passant par A

⃗n1( ) 2 ( 1 ) − 1 est un vecteur directeur.

( |{ x = 1 + 2k | y = 1 + k k ∈ ℝ ( z = 1 − k

4. b. Projeté H1 de A sur P1

H1 = D1 ∩ P1 :

2(1 + 2k) + (1 + k) − (1 − k ) + 2 = 0

2- 2 + 4k + 1 + k − 1 + k + 2 = 0 ⇐ ⇒ 6k + 4 = 0 ⇐ ⇒ k = − 3

H1( ) − 13 ( 1 ) 35 3

5. Quadrilatère AH1HH2 rectangle

Par symétrie, H2 est le projeté de A sur P2.

On montre que −H−H1→ = −H−2→A, donc AH1HH2 est un parallélogramme. On vérifie −−→ AH1 ⋅−−→ H2A = 0, donc un angle droit.

AH1HH2 est un rectangle.