Corrigé – Métropole 2023 J2 (accessible) – Exercice 2

Thème : Suites, modélisation.

Partie A : Premier modèle

Population d’insectes : augmentation de 60% par mois. u₀ = 0,1 (million).

1. Expression de u_n

Suite géométrique de raison 1,6 : u_n+1 = 1,6 u_n.

u_n = 0,1 × 1,6ⁿ

2. Limite

1,6 > 1, donc lim _n→+∞1,6ⁿ = +∞.

lim _n→+∞u_n = +∞

3. Seuil u_n > 0,4

ln 4 0,1 × 1,6n > 0,4 ⇐ ⇒ 1,6n > 4 ⇐ ⇒ n ln (1,6) > ln4 ⇐ ⇒ n > -------≈ 2,95 ln (1,6)

n = 3

Au bout de 3 mois, la population dépasse 400 000, l’équilibre est préservé.

Partie B : Second modèle

v_n+1 = 1,6 v_n − 1,6 v_n², v₀ = 0,1. f(x) = 1,6x − 1,6x².

1. Calcul de v₁

v₁ = 1,6 × 0,1 − 1,6 × 0,1² = 0,16 − 0,016 = 0,144

v₁ = 0,144 million, soit 144 000 insectes

2. a. Points fixes

f (x ) = x ⇐ ⇒ 1,6x − 1,6x2 = x ⇐ ⇒ 0,6x − 1,6x2 = 0 ⇐ ⇒ x (0,6 − 1,6x) = 0

x = 0 ou x = 0,375

2. b. Variations de f sur [0 ; ]

f′(x) = 1,6 − 3,2x.

f′(x) ≥ 0 ⟺ 1,6 ≥ 3,2x ⟺ x ≤.

f est croissante sur [0 ; 1
2 ].

3. a. Récurrence : 0 ≤ v_n ≤ v_n+1 ≤

Initialisation : v₀ = 0,1, v₁ = 0,144, 0 ≤ 0,1 ≤ 0,144 ≤ 0,5. Vrai.

Hérédité : Soit k ∈ ℕ. Supposons 0 ≤ v_k ≤ v_k+1 ≤ 1
2 .

f croissante sur [0 ; ], donc f(0) ≤ f(v_k) ≤ f(v_k+1) ≤ f ( )
12 .

f(0) = 0, f(v_k) = v_k+1, f(v_k+1) = v_k+2, f ( )
12 = 0,4 ≤.

Donc 0 ≤ v_k+1 ≤ v_k+2 ≤ 1
2 . Hérédité vraie.

Conclusion : La propriété est vraie pour tout n ∈ ℕ.

3. b. Convergence

(v_n) est croissante et majorée par 1
2 , donc d’après le théorème de convergence monotone, (v_n) converge vers ℓ ≤ 1
2 .

3. c. Limite

ℓ est un point fixe de f : ℓ = 0 ou ℓ = 0,375.

v₀ = 0,1 > 0 et (v_n) croissante, donc ℓ≠0.

lim _n→+∞v_n = 0,375

À long terme, 375 000 insectes, jamais 400 000. L’équilibre est respecté.

4. Algorithme seuil

a. seuil(0.4) ne renvoie rien car v_n < 0,4 pour tout n.

b. seuil(0.35) renvoie 6 car v₅ < 0,35 et v₆ > 0,35.