Corrigé – Métropole 2023 J1 (accessible) – Exercice 4

Thème : Géométrie dans l’espace.

Cube ABCDEFGH. Repère (A ; −AB→, −A−D→, −A→E).

1. Coordonnées

( ) ( ) ( ) 0 1 1 E ( 0) C ( 1) G ( 1) 1 0 1

2. Représentation paramétrique de (EC)

−−→ EC = ( ) 1 ( 1 ) − 1 .

(| { x = t y = t t ∈ ℝ |( z = 1 − t

3. (EC) orthogonale à (GBD)

( ) ( ) 0 − 1 −−→ ( ) −−→ ( ) GB = − 1 GD = 0 − 1 − 1

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car 0-- −1≠−1- 0.

−−→ −−→ EC ⋅GB = 1 × 0 + 1 × (− 1) + (− 1) × (− 1) = 0

−−→ −−→ EC ⋅GD = 1 × (− 1) + 1 × 0 + (− 1) × (− 1) = 0

(EC) est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires de (GBD), donc (EC) ⊥ (GBD).

4. a. Équation cartésienne de (BDG)

−−→ EC( ) 1 ( 1 ) − 1 est normal à (BDG). (BDG) : x + y − z + d = 0.

B( ) 1 ( 0) 0 ∈ (BDG) : 1 + 0 − 0 + d = 0 ⟺ d = −1.

(BDG) : x + y − z − 1 = 0

4. b. Point I = (EC) ∩ (BDG)

2 t + t − (1 − t) − 1 = 0 ⇐ ⇒ 3t − 2 = 0 ⇐ ⇒ t = -- 3

I( ) 23 ( 2) 31 3

4. c. Distance d(E, BDG)

( 2 ) −→ 3 EI = ( 23 ) − 2 3

∘ ------------------------- ( )2 ( )2 ( )2 ∘ ------ EI = 2- + 2- + − 2- = 3 × 4-= √2-- 3 3 3 9 3

d(E, BDG) = √2-- 3

5. a. Triangle BDG équilatéral

∘ ----------------------------- √ -- BD = (1 − 0)2 + (0 − 1)2 + (0 − 0)2 = 2

----------------------------- BG = ∘ (1 − 1)2 + (0 − 1)2 + (0 − 1)2 = √2-

∘ -------2----------2---------2 √ -- DG = (0 − 1) + (1 − 1) + (0 − 1) = 2

BD = BG = DG = √ -- 2 donc BDG est équilatéral.

5. b. Aire de BDG

Côté c = √ -- 2. Dans un triangle équilatéral, aire = √ - -43c2.

𝒜BDG = √3-- ---- 4 × 2 = √3-- ---- 2

6. Volume du tétraèdre EGBD

√ -- 1- 1- --3- √2-- 1- V = 3 × 𝒜BDG × EI = 3 × 2 × 3 = 3

V EGBD = 1- 3