Corrigé – Métropole 2023 J1 (accessible) – Exercice 3

Thème : Suites, modélisation.

u₀ = 3 (centaines de questions), u_n+1 = 0,9 u_n + 1,3.

u₁ = 0,9 × 3 + 1,3 = 2,7 + 1,3 = 4,0

u₂ = 0,9 × 4 + 1,3 = 3,6 + 1,3 = 4,9

Au 2^e mois : 400 questions. Au 3^e mois : 490 questions.

Montrons par récurrence : u_n = 13 − 1090 × 0,9ⁿ.

Initialisation : n = 0, u₀ = 3 et 13 − 100-
9 × 1 = 13 − 100-
9 = 3. Vrai.

Hérédité : Soit k ∈ ℕ. Supposons u_k = 13 − 100
9 × 0,9^k.

uk+1 = 0,9 uk + 1,3

( ) 100 k uk+1 = 0,9 13 − -9--× 0,9 + 1,3

k+1 uk+1 = 11,7 − 10 × 0,9 + 1,3

100 k+1 uk+1 = 13 − ----× 0,9 9

La propriété est héréditaire.

Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout n ∈ ℕ, u_n = 13 − 1009- × 0,9ⁿ.

100- n+1 n 100- n un+1 − un = − 9 (0,9 − 0,9 ) = 9 × 0,9 × 0,1 ≥ 0

La suite (u_n) est croissante.

Le programme renvoie le plus petit n tel que u_n > 8,5.

100 100 un > 8,5 ⇐ ⇒ 13 − ----× 0,9n > 8,5 ⇐ ⇒ ----× 0,9n < 4,5 9 9

ln 0,405 0,9n < 0,405 ⇐ ⇒ n ln 0,9 < ln0,405 ⇐⇒ n > --------≈ 8,57 ln 0,9

Le programme renvoie n = 9

v_n = 9 − 6e^{−0,19(n−1)} pour n ≥ 1.

v₁ = 9 − 6e⁰ = 3, v₂ = 9 − 6e^−0,19 ≈ 4,04.

−0,19(n−1) −0,19(n−1) 0,5 -1- 9 − 6e = 8,5 ⇐⇒ e = 6 = 12

ln-12- − 0,19(n − 1) = − ln12 ⇐ ⇒ n = 1 + 0,19 ≈ 14,08

n = 15

1^ère modélisation : 850 questions au 9^e mois. 2^de : au 15^e mois. La 1^ère conduit à une modification plus rapide.

lim _n→+∞u_n = 13 (1300 questions) et lim _n→+∞v_n = 9 (900 questions).

La 1^ère modélisation prévoit le plus de questions à long terme.