Thème : Encodage Base64 — Combinatoire et loi binomiale
Barème indicatif : 4 points
L'encodage Base64 utilise un alphabet de 64 caractères : 26 lettres majuscules, 26 lettres minuscules, 10 chiffres et 2 caractères spéciaux.
Question 1. Séquences ordonnées de 4 caractères avec répétition autorisée
Chaque position peut être occupée par l'un des 64 caractères, indépendamment des autres. Le nombre de séquences est :
$$64^4 = (2^6)^4 = 2^{24} = \mathbf{16\,777\,216}.$$
Question 2. Séquences de 4 caractères tous distincts
On choisit les 4 caractères l'un après l'autre sans remise. Le nombre d'arrangements est :
$$A_{64}^4 = 64 \times 63 \times 62 \times 61 = \mathbf{14\,776\,336}.$$
Question 3a. Séquences ne contenant pas la lettre A majuscule
Il reste $64 - 1 = 63$ caractères disponibles à chaque position :
$$63^4 = \mathbf{15\,752\,961}.$$
Question 3b. Séquences contenant au moins une lettre A majuscule
On utilise le complémentaire :
$$64^4 - 63^4 = 16\,777\,216 - 15\,752\,961 = \mathbf{1\,024\,255}.$$
Question 3c. Séquences contenant exactement une lettre A majuscule
On choisit : 1. la position de la lettre A parmi les 4 : $\binom{4}{1} = 4$ façons, 2. les 3 autres caractères, chacun parmi les 63 caractères restants (sans A) : $63^3 = 250\,047$ façons.
$$\binom{4}{1} \times 1 \times 63^3 = 4 \times 250\,047 = \mathbf{1\,000\,188}.$$
Question 3d. Séquences contenant exactement deux lettres A majuscules
On choisit : 1. les 2 positions occupées par A parmi les 4 : $\binom{4}{2} = 6$ façons, 2. les 2 autres caractères, chacun parmi les 63 caractères non-A : $63^2 = 3\,969$ façons.
$$\binom{4}{2} \times 63^2 = 6 \times 3\,969 = \mathbf{23\,814}.$$
Un système de vérification analyse $n = 250$ séquences de façon indépendante. La probabilité qu'une séquence contienne au moins un A majuscule est, d'après la question 3b :
$$p = \frac{1\,024\,255}{16\,777\,216} \approx 0{,}0610 \approx 0{,}01.$$
*(Le problème indique $p = 0{,}01$ comme approximation ; on l'utilise dans la suite.)*
On note $X$ le nombre de séquences contenant au moins un A parmi les 250.
Question 1. Loi de $X$
Les vérifications sont indépendantes, la probabilité de succès est constante $p = 0{,}01$ :
$$\boxed{X \sim \mathcal{B}(250\,;\,0{,}01).}$$
Question 2. Probabilité $P(X = 0)$
$$P(X = 0) = \binom{250}{0} \times (0{,}01)^0 \times (0{,}99)^{250} = (0{,}99)^{250}.$$
Calcul :
$$(0{,}99)^{250} = e^{250\,\ln(0{,}99)} \approx e^{250 \times (-0{,}01005)} = e^{-2{,}513} \approx \mathbf{0{,}081.}$$
Question 3. $P(X > 16)$
L'espérance et l'écart-type de $X$ sont :
$$E(X) = np = 250 \times 0{,}01 = 2{,}5.$$
$$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{250 \times 0{,}01 \times 0{,}99} = \sqrt{2{,}475} \approx 1{,}57.$$
$X > 16$ correspond à $X > E(X) + \dfrac{16 - 2{,}5}{1{,}57} \approx E(X) + 8{,}6\,\sigma(X)$.
Cette valeur est extrêmement éloignée de l'espérance (plus de 8 écarts-types). Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
$$P(X > 16) \leq P\!\left(|X - 2{,}5| \geq 13{,}5\right) \leq \frac{V(X)}{(13{,}5)^2} = \frac{2{,}475}{182{,}25} \approx 0{,}014.$$
En pratique, avec un calcul exact par la loi binomiale, cette probabilité est inférieure à $10^{-6}$, c'est-à-dire quasi nulle.
On dispose de quatre variables $X_1, X_2, X_3, X_4$ indépendantes, toutes distribuées selon $\mathcal{B}(250\,;\,0{,}01)$. On pose $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$.
Espérance de $S$
$$E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) = 4 \times 2{,}5 = \mathbf{10.}$$
Variance de $S$ (les $X_i$ sont indépendantes)
$$V(S) = V(X_1) + V(X_2) + V(X_3) + V(X_4) = 4 \times 250 \times 0{,}01 \times 0{,}99 = 4 \times 2{,}475 = \mathbf{9{,}9.}$$
En moyenne, parmi les $4 \times 250 = 1000$ séquences analysées au total, on s'attend à trouver 10 séquences contenant au moins un A majuscule, avec un écart-type de $\sqrt{9{,}9} \approx 3{,}15$.