Thème : Fonction sigmoïde — Étude analytique, primitive et valeur moyenne
Barème indicatif : 5 points
On considère la famille de fonctions $f(x) = \dfrac{1}{a + e^{-bx}}$ où $a, b > 0$. La courbe passe par les points $A(0\,;\,0{,}5)$ et $B(10\,;\,1)$.
Question 1. Lecture graphique
D'après le graphique, $f(10) \approx 1$. On admet $f(10) = 1$.
Question 2. Asymptote horizontale
Quand $x \to +\infty$, $e^{-bx} \to 0$ (car $b > 0$), donc :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{a + 0} = \frac{1}{a}.$$
La droite d'équation $y = \dfrac{1}{a}$ est une asymptote horizontale en $+\infty$.
D'après la lecture graphique, cette asymptote est $y = 1$, donc $\dfrac{1}{a} = 1$.
Question 3. Valeur de $a$
La courbe passe par $A(0\,;\,0{,}5)$ :
$$f(0) = \frac{1}{a + e^0} = \frac{1}{a + 1} = 0{,}5 \implies a + 1 = 2 \implies \boxed{a = 1.}$$
On vérifie la cohérence : $\dfrac{1}{a} = 1$ $\checkmark$.
Question 4. Coefficient directeur de la droite $(AB)$
$$\text{pente}_{AB} = \frac{f(10) - f(0)}{10 - 0} = \frac{1 - 0{,}5}{10} = \frac{0{,}5}{10} = 0{,}05.$$
Question 5a. Dérivée de $f$ avec $a = 1$
$$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-bx}} = \left(1 + e^{-bx}\right)^{-1}.$$
Par dérivation de la composée :
$$f'(x) = -\left(1 + e^{-bx}\right)^{-2} \times (-b\,e^{-bx}) = \frac{b\,e^{-bx}}{\left(1 + e^{-bx}\right)^2}.$$
Question 5b. Valeur de $b$
La tangente en $A$ a pour pente $f'(0)$ :
$$f'(0) = \frac{b\,e^0}{(1 + e^0)^2} = \frac{b}{(1+1)^2} = \frac{b}{4}.$$
Cette pente doit être égale au coefficient directeur de $(AB)$ (la tangente en $A$ est la droite $(AB)$) :
$$\frac{b}{4} = 0{,}05 \implies \boxed{b = 0{,}2.}$$
Question 1. Limite en $+\infty$
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{1 + 0} = 1.$$
La droite $y = 1$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
Question 2. Stricte monotonie de $f$
$$f'(x) = \frac{0{,}2\,e^{-0{,}2x}}{\left(1 + e^{-0{,}2x}\right)^2}.$$
Le numérateur $0{,}2\,e^{-0{,}2x} > 0$ et le dénominateur $\left(1 + e^{-0{,}2x}\right)^2 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $f'(x) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Question 3. Existence et unicité de $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0{,}97$
$f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus :
$$f(0) = \frac{1}{2} = 0{,}5 < 0{,}97 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 > 0{,}97.$$
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\alpha > 0$ tel que $f(\alpha) = 0{,}97$.
Question 4. Encadrement de $\alpha$ à l'unité
On évalue $f$ en quelques points :
$$f(17) = \frac{1}{1 + e^{-3{,}4}} \approx \frac{1}{1 + 0{,}0334} \approx \frac{1}{1{,}0334} \approx 0{,}967 < 0{,}97.$$
$$f(18) = \frac{1}{1 + e^{-3{,}6}} \approx \frac{1}{1 + 0{,}0273} \approx \frac{1}{1{,}0273} \approx 0{,}973 > 0{,}97.$$
Comme $f(17) < 0{,}97 < f(18)$ et $f$ est strictement croissante :
$$\boxed{17 \leq \alpha \leq 18.}$$
Question 1. Réécriture de $f(x)$
On multiplie numérateur et dénominateur par $e^{0{,}2x}$ :
$$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-0{,}2x}} \times \frac{e^{0{,}2x}}{e^{0{,}2x}} = \frac{e^{0{,}2x}}{e^{0{,}2x} + 1}. \quad \checkmark$$
Question 2. Primitive de $f$
On reconnaît une forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = e^{0{,}2x} + 1$ et $u'(x) = 0{,}2\,e^{0{,}2x}$.
$$f(x) = \frac{e^{0{,}2x}}{e^{0{,}2x}+1} = \frac{1}{0{,}2} \times \frac{0{,}2\,e^{0{,}2x}}{e^{0{,}2x}+1} = 5\,\frac{u'(x)}{u(x)}.$$
Une primitive de $f$ est donc :
$$\boxed{F(x) = 5\ln\!\left(1 + e^{0{,}2x}\right) + C, \quad C \in \mathbb{R}.}$$
*Vérification :* $F'(x) = 5 \times \dfrac{0{,}2\,e^{0{,}2x}}{1 + e^{0{,}2x}} = \dfrac{e^{0{,}2x}}{1+e^{0{,}2x}} = f(x)$ $\checkmark$.
Question 3. Valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,40]$
La valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,40]$ est :
$$\mu = \frac{1}{40} \int_0^{40} f(x)\,dx = \frac{1}{40} \left[5\ln\!\left(1 + e^{0{,}2x}\right)\right]_0^{40}.$$
$$= \frac{1}{40} \left[5\ln\!\left(1 + e^{8}\right) - 5\ln\!\left(1 + e^0\right)\right] = \frac{5}{40} \left[\ln(1 + e^8) - \ln(2)\right].$$
$$= \frac{1}{8}\,\ln\!\left(\frac{1 + e^8}{2}\right).$$
Valeur exacte :
$$\boxed{\mu = \frac{1}{8}\ln\!\left(\frac{1 + e^8}{2}\right).}$$
Valeur approchée : $e^8 \approx 2980{,}96$, donc $\dfrac{1 + e^8}{2} \approx 1490{,}98$.
$$\mu \approx \frac{\ln(1490{,}98)}{8} \approx \frac{7{,}308}{8} \approx \mathbf{0{,}914.}$$